Chuyên đề góc và khoảng cách trong không gian – Nguyễn Nhanh Tiến là tài liệu môn Toán trong chương trình Lớp 12 được cungthi.online tổng hợp và biên soạn từ các nguồn chia sẻ trên Internet. Tạo nguồn tài liệu giúp các bạn trong việc ôn luyện và học tập
Những địa chỉ uy tín để bạn mua sách
Nội dung tóm tắt
Ð LATEX Hóa Nguyễn Hữu Nhanh Tiến h /ToanTienNhanh
Hướng tới kì thi THPTQG 2019
GÓC - KHOẢNG CÁCH
§1. Các dạng toán liên quan đến tính Góc
1. 1 Góc giữa hai đường thẳng
Góc giữa hai đường thẳng a và b trong không gian là góc giữa hai đường thẳng a′ và b′ cùng đi qua
một điểm và lần lượt song song với a và b.
a
a′
b
b′
O
L Để xác định góc giữa hai đường thẳng a và b ta có thể lấy điểm O thuộc một trong hai đường
thẳng đó rồi vẽ một đường thẳng qua O và song song với đường thẳng còn lại.
L Nếu #»u và #»v lần lượt là vec-tơ chỉ phương của a và b, đồng thời ( #»u , #»v ) = α thì góc giữa hai
đường thẳng a và b bằng α nếu 0◦ ≤ α ≤ 90◦ và bằng 180◦ − α nếu 90◦ < α ≤ 180◦.
L Nếu a và b là hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau thì góc giữa chúng bằng 0◦.
!
Xác định góc giữa hai đường thẳng trong không gian. Ta thường có hai phương pháp để giải
quyết cho dạng toán này.
¹ Phương pháp 1: Sử dụng định nghĩa góc giữa hai đường thẳng, kết hợp sử dụng hệ thức
lượng trong tam giác (định lý cos, công thức trung tuyến).
¹ Phương pháp 2: Sử dụng tích vô hương của hai vec-tơ.
Ví dụ 1.
161 -Bùi Thị Xuân Tp Huế 1 TT Quốc Học Huế
Ð LATEX Hóa Nguyễn Hữu Nhanh Tiến h /ToanTienNhanh
Cho tứ diện ABCD có AB vuông góc với mặt phẳng
(BCD). Biết tam giác BCD vuông tại C và AB =
a
√
6
2
,
AC = a
√
2, CD = a. Gọi E là trung điểm của AC (tham
khảo hình vẽ bên). Góc giữa hai đường thẳng AB và DE
bằng
A. 45◦. B. 60◦. C. 30◦. D. 90◦. B D
E
A
C
Hướng dẫn giải:
Gọi I là trung điểm của BC, suy ra EI ‖ AB.
Khi đó (AB,DE) = (EI,ED) = ÎED.
Ta có
DC ⊥ BC (giả thiết)DC ⊥ AB (AB ⊥ (BCD)) ⇒ DC ⊥ (ABC),
suy ra DC vuông góc với EC. Do đó
DE2 = CD2 + EC2 = CD2 +
AC2
4
=
3a2
2
⇒ DE = a
√
6
2
.
Ta có IE =
AB
2
=
a
√
6
4
và BC2 = AC2 − AB2 = a
2
2
.
Tam giác ICD vuông tại C nên
DI2 = CD2 + IC2 = CD2 +
BC2
4
=
9a2
8
.
B D
E
A
C
I
Áp dụng định lý cô-sin cho tam giác IDE, ta có
cos ÎED =
IE2 +DE2 − CD2
2IE ·DE
=
3a2
8
+
3a2
2
− 9a
2
8
2 · a
√
6
4
· a
√
6
2
=
1
2
⇒ ÎED = 60◦.
Vậy góc giữa hai đường thẳng AB và DE bằng 60◦.
!
Có thể chứng minh EI vuông góc với mặt phẳng (BCD), suy ra tam giác EID vuông tại I để
tính góc ÎED đơn giản hơn mà không cần sử dụng định lý cô-sin.
Ví dụ 2. Cho tứ diện ABCD có AB vuông góc với mặt phẳng (BCD). Biết tam giác BCD
vuông tại C và AB =
a
√
6
2
, AC = a
√
2, CD = a. Gọi E là trung điểm của AD (tham khảo
hình vẽ dưới đây).
161 -Bùi Thị Xuân Tp Huế 2 TT Quốc Học Huế
Ð LATEX Hóa Nguyễn Hữu Nhanh Tiến h /ToanTienNhanh
B D
E
C
A
Góc giữa hai đường thẳng AB và CE bằng
A. 60◦. B. 45◦. C. 30◦. D. 90◦.
Hướng dẫn giải:
Gọi F là trung điểm của BD, suy ra EF ‖ AB nên
(AB,CE) = (EF,CE).
Do AB ⊥ (BCD) nên EF ⊥ (BCD), suy ra 4EFC
vuông tại F .
Mặt khác
CD ⊥ BCCD ⊥ AB ⇒ CD ⊥ AC.
Ta có EF =
1
2
AB =
a
√
6
4
, AD =
√
AC2 + CD2 = a
√
3.
4ACD vuông tại C và có E là trung điểm của AD nên
CE =
1
2
AD =
a
√
3
2
.
cos ĈEF =
EF
EC
=
√
2
2
⇒ ĈEF = 45◦.
Vậy (AB,CE) = (EF,CE) = ĈEF = 45◦.
B D
E
C
F
A
Ví dụ 3.
Cho hình lăng trụ đứng tam giác ABC.A′B′C ′ có đáy ABC là tam
giác cân AB = AC = a, B̂AC = 120◦, cạnh bên AA′ = a
√
2. Tính
góc giữa hai đường thẳng AB′ và BC (tham khảo hình vẽ bên).
A. 90◦. B. 30◦. C. 45◦. D. 60◦.
B
C
B′
C ′
A
A′
Hướng dẫn giải:
161 -Bùi Thị Xuân Tp Huế 3 TT Quốc Học Huế
Ð LATEX Hóa Nguyễn Hữu Nhanh Tiến h /ToanTienNhanh
Dựng AP sao cho song song và bằng với CB như hình vẽ.
Suy ra (BC,AB′) = (AP,AB′) .
Ta có AP = CB = a
√
3.
Ta lại có AB′ =
√
B′B2 + AB2 = a
√
3;
B′P =
√
B′B2 + PB2 = a
√
3.
Vậy 4APB′ đều nên (BC,AB′) = (AP,AB′) = 60◦.
B′
C
C ′
A
A′
BP
Ví dụ 4.
Cho tứ diện đều ABCD có M là trung điểm của cạnh CD
(tham khảo hình vẽ), ϕ là góc giữa hai đường thẳng AM và
BC. Giá trị cosϕ bằng
A.
√
3
6
. B.
√
3
4
.
C.
√
2
3
. D.
√
2
6
.
M
A
B
C
D
Hướng dẫn giải: Giả sử cạnh của tứ diện đều bằng a.
Ta có:
# »
CB.
# »
AM =
# »
CB · ( # »CM − # »CA) = # »CB · # »CM − # »CB · # »CA
= CB · CM · cos ÂCM − CB · CA · cos ÂCB = −a
2
4
.
cosϕ =
∣∣∣cos Ä # »BC, # »AMä∣∣∣ = ∣∣∣∣∣ # »BC · # »AMBC · AM ∣∣∣∣∣ = √36 .
Ví dụ 5.
Cho tứ diện ABCD cóAB vuông góc với mặt phẳng (BCD).
Biết tam giác BCD vuông tại C và AB =
a
√
6
2
, AC = a
√
2,
CD = a. Gọi E là trung điểm của AD (tham khảo hình vẽ
bên).
Góc giữa hai đường thẳng AB và CE bằng
A. 45◦. B. 60◦.
C. 30◦. D. 90◦.
A
E
B D
C
Hướng dẫn giải:
161 -Bùi Thị Xuân Tp Huế 4 TT Quốc Học Huế
Ð LATEX Hóa Nguyễn Hữu Nhanh Tiến h /ToanTienNhanh
Gọi H là trung điểm của BD. Khi đó EH ‖ AB và EH ⊥ (BCD).
Góc giữa AB và CE bằng góc giữa EH và EC và bằng ĤEC.
Ta có EH =
1
2
AB =
a
√
6
4
, BC =
√
AC2 − AB2 = a
√
2
2
,
CH2 =
2(CB2 + CD2)−BD2
4
=
3a2
8
⇒ CH = a
√
6
4
.
Vì tan ĤEC =
CH
EH
=
a
√
6
4
÷ a
√
6
4
= 1 nên ĤEC = 45◦.
Vậy góc giữa AB và CE bằng 45◦.
A
E
B D
C
H
Ví dụ 6. Cho hình lập phương ABCD.A′B′C ′D′. Góc giữa A′C ′ và D′C là
A. 120◦. B. 45◦. C. 60◦. D. 90◦.
Hướng dẫn giải:
Ta có A′C ′ ‖ AC nên
(A′C ′, D′C) = (D′C,AC) .
Dễ thấy tam giác ACD′ là tam giác đều nên D̂′CA = 60◦, do đó
(A′C ′, D′C) = (D′C,AC) = 60◦.
A
BC
D
A′D′
C ′
