Một số công thức giải nhanh phần thể tích khối chóp Nguyễn Chiến là tài liệu môn Toán trong chương trình Lớp 12 được cungthi.online tổng hợp và biên soạn từ các nguồn chia sẻ trên Internet. Tạo nguồn tài liệu giúp các bạn trong việc ôn luyện và học tập
Những địa chỉ uy tín để bạn mua sách
Nội dung tóm tắt
MỘT SỐ CÔNG THỨC GIẢI NHANH PHẦN THỂ TÍCH KHỐI CHÓP
CT 1. Cho hình chóp SABC với
các mặt phẳng ,SAB
SBC
SAC
vuông góc với nhau từng
đôi một, diện tích các tam giác
, ,SAB SBC SAC lần lượt là
1 2 3
,S ,SS .
Hình vẽ Thể tích
1 2 3
.
2 .S .S
3S ABC
S
V
CT 2. Cho hình chóp S.ABC có
SA vuông góc với ABC , hai
mặt phẳng SAB
và SBC
vuông góc với nhau, BSC ,
ASB .
3
.
.sin 2 .tan .
12S ABC
SB
V
CT 3. Cho hình chóp đều
S.ABC có đáy ABC là tam giác
đều cạnh bằng a, cạnh bên
bằng b .
2 2 2
.
3
12S ABC
a b a
V
Khi a b được tứ diện đều
3
.
2
12S ABC
a
V
CT 4. Cho hình chóp tam giác
đều S.ABC có cạnh đáy bằng a và
mặt bên tạo với mặt phẳng đáy
góc .
3
.
tan
24S ABC
a
V
CT 5. Cho hình chóp tam giác
đều S.ABC có các cạnh bên bằng
b và cạnh bên tạo với mặt phẳng
đáy góc .
3 2
.
3 .sin cos
4S ABC
b
V
CT 6. Cho hình chóp tam giác
đều S.ABC có các cạnh đáy bằng
a, cạnh bên tạo với mặt phẳng
đáy góc .
3
.
. tan
12S ABC
a
V
C
S
A
B
B
CA
S
B
S
A C
M
G
CT 7. Cho hình chóp tứ giác
đều S.ABCD có đáy ABCD là
hình vuông cạnh bằng a, và
SA SB SC SD b .
2 2 2
.
4 2
6S ABC
a b a
V
Khi chóp tứ giác có tất cả
các cạnh bằng a thì
3
.
2
6S ABC
a
V
CT 8. Cho hình chóp tứ giác
đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a,
góc tạo bởi mặt bên và mặt
phẳng đáy là
3
.
. tan
.
6S ABCD
a
V
CT 9. Cho hình chóp tứ giác đều
S.ABCD có cạnh đáy bằng a,
SAB , với ;
4 2
.
3 2
.
tan 1
.
6S ABCD
a
V
CT 10. Cho hình chóp tứ giác
đều S.ABCD có các cạnh bên
bằng a, góc tạo bởi mặt bên và
mặt đáy là với
0;
2
.
3
. 3
2
4 .tan
3 2 tan
S ABCD
a
V
CT 11. Cho hình chóp tam giác
đều S.ABC có cạnh đáy bằng a.
Gọi P
là mặt phẳng đi qua A
song song với BC và vuông góc
với SBC , góc giữa P
với mặt
phẳng đáy là .
3
.
cot
.
24S ABCD
a
V
O
B
D
A
S
C
M
x
N
C
A
S
B
F
M
G
E
CT 12. Khối tám mặt đều có
đỉnh là tâm các mặt của hình lập
phương cạnh a
3
.
6
a
V
CT 13. Cho khối tám mặt
đều cạnh a. Nối tâm của các mặt
bên ta được khối lập
phương
3
32 2 2
3 27
a a
V
LỜI GIẢI CHI TIẾT
CT 1. Cho hình chóp SABC với các mặt phẳng , ,SAB SBC SAC vuông góc với
nhau từng đôi một, diện tích các tam giác , ,SAB SBC SAC lần lượt là
1 2 3
,S ,SS . Thể tích khối chóp SABC
là: 1 2 3
.
2 .S .S
3S ABC
S
V
Lời giải
AS SBC
1 1
. . . .
3 6
SABC SBC
V S SA SA SB SC
2 2 21 1. . . . . . .
6 6
SA SB SC SA SB SB SC SA SC
1 2 3
1 2 3
2 . .1
2 .2 .2
6 3
S S S
S S S
Áp dụng: Cho hình chóp SABC với các mặt phẳng , ,SAB SBC SAC vuông góc với
nhau từng đôi một, diện tích các tam giác , ,SAB SBC SAC lần lượt là 2 2 215 ,20 ,18cm cm cm Thể tích khối
chóp SABC là
A. 3 20.a B.
3 20
.
3
a
C.
3 20
.
2
a
D.
3 20
.
6
a
1 2 3 3
2 . .
20
3ABCD
S S S
V a Chọn đáp án A.
O1
O3
O4 O2
O
O'
A B
CD
B'
C'
D'
A'
B
D
A
S
C
S'
N
G2
M
G1
C
S
A
B
CT 2. Cho hình chóp SABC có SA vuông góc với mặt phẳng ABC , hai mặt phẳng
SAB và SBC vuông góc với nhau, BSC , ASB . Thể tích khối chóp SABC là
3
.
.sin 2 .tan .
12S ABC
SB
V
Lời giải
+SAB vuông tại A có : .sinAB SB , .cosSA SB
+SBC vuông tại B có :
.tanBC SB 2
1 1
. . .sin .tan
2 2
ABC
S AB BC SB
2
.
1 1 1
. . . . .sin .tan . .cos
3 3 2S ABC ABC
V S SA SB SB
3.sin 2 .tan .
12
SB
Áp dụng: Cho hình chóp SABC có SA vuông góc với mặt phẳng ABC , hai mặt phẳng SAB và
SBC vuông góc với nhau, 3SB a , 45 oBSC , 30 oASB . Thể tích khối chóp SABC là
A.
33
.
8
a
B.
3 6
.
8
a
C.
3 2
.
2
a
D.
3 3
.
6
a
3 3
.
.sin 2 .tan 3
12 8S ABC
SB a
V
Chọn đáp án A.
CT 3. Cho hình chóp đều S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a, cạnh bên
bằng b . Thể tích khối chóp S.ABC là
2 2 23
12
a b a
Lời giải
Gọi G là trọng tâm ABC SG ABC
ABC đều
3
2
a
AM
3
3
a
AG
SGA vuông tại G có:
2 2 2
2 2 2 3
3 3
a b a
SG SA AG b
Vậy
2 2 2 2 2 21 1 3 3 3
. . . .
3 3 4 3 12SABC ABC
a b a a b a
V S SG
Khi a b
3 2
12SABC
a
V
B
CA
S
CA
S
B
M
G
Áp dụng: Cho hình chóp đều S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a, cạnh bên
bằng a . Thể tích khối chóp S.ABC là
A.
3 3
.
24
a
B.
3 2
.
12
a
C.
3 2
.
24
a
D.
3 3
.
12
a
Chọn đáp án B.
CT 4. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a và mặt bên tạo với
mặt phẳng đáy góc . Thể tích khối chóp S.ABC là
3 tan
24
a
A.
3 3
.
48
a
B.
3
.
24
a
C.
3 3
.
24
a
D.
3
.
12
a
Lời giải
+ ABC đều
ABC
a
S
2 3
4
+ Gọi G là trọng tâm ABC SG ABC
,SBC ABC SMG
Xét SGM vuông tại G có :
1 3.tan
.tan . tan
3 6
a
SG GM SMG AM
Vậy
2 31 1 3 3.tan tan
. . . .
3 3 4 6 24SABC ABC
