Nâng cao kỹ năng giải toán trắc nghiệm 100 dạng bài hàm số và các bài toán liên quan – Tô Thị Nga Vấn đề 4. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số là tài liệu môn Toán trong chương trình Lớp 12 được cungthi.vn tổng hợp và biên soạn. Tạo nguồn tài liệu giúp các bạn trong việc ôn tập
Những địa chỉ uy tín để bạn mua sách
Nội dung tóm tắt
VẤN ĐỀ 4: TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ
I. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
CÁC KHÁI NIỆM VỂ TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG CONG PHẲNG
Trên mặt phẳng tọa độ Oxỵ cho đường cong (C), Giả sử (C) là đồ thị của hàm số y = f(x) và M (x0;f (x0)) (C). Kí hiệu M(x;f (x)) là một điểm di chuyển trên (C). Đường thẳng MM0 là một cát tuyến của (C).
Nhận xét rằng khi X x0 thì M(x;f (x)) di chuyển trên (C) tới điểm M0(x0;f (x0)) và ngược lại. Giả sử cát tuyến MM0 có vị trí giới hạn, kí hiệu là M0T thì M0T được gọi là tiếp tuyến của (C) tại M0. Điểm M0 được gọi là tiếp điểm.
II. CÁC DẠNG BÀI TẬP
DẠNG 1:
VIẾT PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN TẠI 1 ĐIỂM THUỘC ĐỒ THỊ
1. Bài toán
Cho đồthị (C): y = f(x) và điểm M (x0; y0) (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M(x0;y0).
2. Phương pháp giải
Phương trình tiếp tuyến tại M(x0;y0) của (C) là: y-y0 = f ' (x0)(x-x0).
3. Bài tập
A. Khởi động
Bài tập 1: Cho đồ thị (C):y = f(x) = -x4 + 2x2. Phương trình tiếp tuyến với đổ thị (C) tại Alà:
(A) (B)
(C) (D)
Giải:
Ta có: y ' = f ' (x) =-4x3+4x f '
Phương trình tiếp tuyến tại A là:
Chọn A
Bài tập 2: Cho đổ thị hàm số (C): y = f (x) = x3 -3x2 + 2x - 5. Phương trình tiếp tuyến của (C) có hoành độ của tiếp điểm bằng 2 là:
(A)y = x -7; (B) y = 2x -9;
(C)y = 2x +1; (D) y = -2x -1
Giải:
Ta có: y' = 3x2 - 6x + 2.
x0 = 2 => y0 = -5 ; y'(2) = 2 Phương trình tiếp tuyến tại M(2; -5) là:
y = y'(2)(x-2)+y(2) y = 2(x-2)-5 hay y = 2x-9.
Chọn B
Chú ý:
+ Khi biết được 1 trong 2 yếu tố hoành độ tiếp điểm hoặc tung độ tiếp điểm thì ta phải tìm yếu tố còn lại để viết được phương trình tiếp tuyến.
+ Sử dụng Casio: Để tính f ' (2) ta nhập nhấn bằng ta được kết quả f '(2) = 2. Cách tính này các em nên dùng cho những bài toán viết tiếp tuyến của hàm số dạng phức tạp.
Bài tập 3: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C): y = f (x) = x3 - 3x2 + 2x - 5. Biết tung độ của tiếp điểm là 1.
(A)y = 107x + 536; (B) y = 107x + 534;
(C) y = 11x - 32; (D) y = 11x – 34;
Giải:
Ta có: y' = 3x2 -6x + 2, y'(3) = 11.
Phương trình tiếp tuyến tại điểm M(3; 1) là:
y = y'(3)(x - 3) + y(3)<=>y = 11(x-3) + l hay y = 11x - 32
Chọn C
Bài tập 4 : Cho đồ thị (C): y = f (x) = x4 - x2 +1. Phương trình tiếp tuyến tại các giao điểm của (C) với Ox là:
(A)y = 0; (B) y = 1;
(C) y = 4x + 5; (D )y = 4x-21.
Giải:
Hoành độ giao điểm của (C) với Ox là nghiệm của phương trình:
x4 - x2 +1 = 0
Ta có: y' = f'(x) = x3-2x.
Phương trình tiếp tuyến của (C) tại là:
hay y = 0
Phương trình tiếp tuyến của (C) tại là:
hay y = 0
Chọn A
Bài tập 5: Tiếp tuyến tại điểm cực tiểu của đồ thị hàm số y = -x3 + 3x2 + 9x + 2
(A) Song song với đường thẳng x = 1.
(B) Song song với trục hoành.
(C) Có hệ số góc dương.
(D) Có hệ số góc bằng 1.
Giải:
TXĐ: D = R
Ta có: y' = -3x2 + 6x + 9 = 0
Ta có: y” = -6x + 6; y’’(-1) = 12 > 0 x= -1 là điểm cực tiểu, y”(3) = -12 < 0 => x = 3 là điểm cực đại.
Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm cực tiểu là: k = y '(-1) = 0 tiếp tuyến song song với trục hoành.
Chọn B
Lưu ý: Có thể chọn nhanh phương án (B) bằng cách lí luận như sau: Vì f’(x) tổn tại với mọi x R nên x0 là điểm cực trị thì f f(x0) = 0 Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm cực trị x0 là k = f'(x0) = 0 Chọn (B).
Bài toán 6: Cho (C): y = f(x) = 2x3-5x2+3x-8. Khẳng định nào sau đây là SAI?
(A)Mọi tiếp tuyến tại một điểm bất kỳ trên (C) cóhệ số góc không nhỏ hơn
(B) Các phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của (C) với đường thẳng (D):
y = 2x - 10 là y = - x - 7và y =x -
(C)Các phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của (C) với Parabol (P):
y = x2 + 3x - 8 là y = 3x - 8 và y = 27x – 71
(D)Các phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của (C) với đường cong (C’):
y = x3- 4x2 + 2x -10 là y = 19x + 1 và y = 5x – 20
Giải:
Ta có: y’ = 6x2 – 10x + 3
y’ = 6
Khẳng định A là đúng
+ Xét khẳng định B:
Hoành độ giao điểm của (C) với (D) là nghiệm của phương trình
2x3-5x2+3x-8=2x-10(x-1)(x-2)(2x+1)=0
- Tiếp tuyến tại x = 2 có phương trình là:
y = y'(2)(x-2) + y(2) = 7(x -2)- 6= 7x -20 hay y = 7x-20
- Tiếp tuyến tại x = 1 có phương trình là:
y = y’(l)(x-l) + y(l) = -l(x-l)-8 = -x-7 hay y = -x- 7
- Tiếp tuyến tại x = - có phương trình là:
y= y’(-)(x+)+y(-) hay hay
Khẳng định B là đúng
+ Xét khẳng định C:
Hoành độ giao điểm của (C) với (P) là nghiệm của phương trình
2x3-5x2+3x-8=x2+3x-82x2(x-3)=0
- Tiếp tuyến tại X = 0 có phương trình là:
y = y’(0)(x-0) + y(0) = 3x-8 hay y = 3x - 8.
- Tiếp tuyến tại X = 3 có phương trình là:
y = y'(3)(x -3) + y(3) = 27(x -3) +10 = 27x -71 hay y = 27x – 71.
Khẳng định C là đúng
+ Xét khẳng định D:
Hoành độ giao điểm của (C) với (C’) là nghiệm của phương trình
2x3-5x2+3x-8 = x3 – 4x2 + 2x
