SỐ PHỨC 235 BTTN SỐ PHỨC NÂNG CAO – CỰC CAO File word là tài liệu môn Toán trong chương trình Lớp 12 được cungthi.vn tổng hợp và biên soạn. Tạo nguồn tài liệu giúp các bạn trong việc ôn tập
Những địa chỉ uy tín để bạn mua sách
Nội dung tóm tắt
http://dethithpt.com
http://dethithpt.com
http://dethithpt.com (http://dethithpt.com)
TỔNG BIÊN SOẠN VÀ TỔNG HỢP
235 BTTN SỐ PHỨC NÂNG CAO – CỰC CAO
TÀI LIỆU ÔNG TẬP VÀ GIẢNG DẠY CHO HỌC SINH KHÁ – GIỎI
[Type the abstract of the document here. The abstract is typically a short summary of the contents of the document. Type the abstract of the document here. The abstract is typically a short summary of the contents of the document.]
PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN.
Các phép tính về số phức và các bài toán định tính.
Phương pháp:
Dạng 1: Các phép tính về số phứC.
Sử dụng các công thức cộng, trừ, nhân, chia và lũy thừa số phứC.
Dạng 2: Số phức và thuộc tính của nó.
Tìm phần thực và phần ảo: , suy ra phần thực , phần ảo
Biểu diễn hình học của số phức:
Ví dụ 1 Tìm số phức thỏa mãn:
1. và là số thuần ảo. 2. và là số ảo.
Lời giải.
1. Đặt . Khi đó tương đương với
.
Khi đó và là số thuần ảo khi và chỉ khi hay .
Vậy các số phức cần tìm là .
2. Đặt . Khi đó tương đương với
tức
Ta có:
là số ảo khi và chỉ khi
Từ và suy ra tức ta tìm được
Ví dụ 2. Tìm số phức thỏa mãn: và
Lời giải.
Cách 1:
Giả sử , .
hay
tức
Lại có: hay
Vậy, số phức cần tìm là
Cách 2:
Với số phức và , ta luôn có:
Ta có: . Gọi và là điểm biểu diễn các số và tức là . Với giả thiết: , ở đây là điểm biểu diễn số phức . Như vậy, nằm trên đường trung trực của nằm trên đường thẳng
Lại có: tức là nằm trên trung trực của , nghĩa là điểm nằm trên đường thẳng .
Từ và suy ra nằm trên đường thẳng và tức .
Ví dụ 3. Cho số phức thỏa mãn . Tính
Lời giải.
Do không là nghiệm hệ, đặt
Khi đó ta có:
Khi thì , thỏa mãn
Khi thì x, y . Vậy số phức cần tìm là:
Vậy,
Vậy tập hợp điểm là đường tròn: .
Ví dụ 4. Trong mặt phẳng phức, tìm tập hợp các điểm biểu diễn của số phức thỏa mãn điều kiện:
Lời giải.
Cách 1: Đặt là số phức đã cho và là điểm biểu diễn của trong mặt phẳng phứC.
Ta có: .
Vậy, tập hợp điểm cần tìm là đường thẳng .
Cách 2:
Đặt là số phức đã cho và là điểm biểu diễn của trong mặt phẳng phức, điểm biểu diễn số tức và điểm biểu diễn số phức tức
Khi đó
Vậy, tập hợp điểm cần tìm là đường trung trực của : .
Ví dụ 5. Trong mặt phẳng phức, tìm tập hợp các điểm biểu diễn của số phức thỏa mãn điều kiện:
Lời giải.
Đặt là số phức đã cho và là điểm biểu diễn của trong mặt phẳng phứC.
Ta có: hay
Từ , ta có hệ:
Vậy, tập hợp các điểm biểu diễn của số phức là elip có phương trình
Cách 2 : Đặt là số phức đã cho và là điểm biểu diễn của trong mặt phẳng phứC.
Trong mặt phẳng phức, xét các điểm
Ta có:
Giả thiết
Vì , nên tập hợp điểm là elip.
Ta có:
Ví dụ 6. Giải các phương trình sau trên tập số phức:
1. biết phương trình có nghiệm thuần ảo
2. 3.
Lời giải.
1. Giả sử là một nghiệm của phương trình . Khi đó, ta có:
là một nghiệm của phương trình. Nên ta biến đổi phương trình đã cho về dạng:
.
2. Vì không là nghiệm của phương trình nên
Phương trình
Đặt , ta có: .
.
3. Đặt , ta có:
.
.
Ví dụ 7. Giải hệ phương trình: ;
Lời giải.
Xét số phức với , suy ra .
1. Hệ suy ra . Lấy vế theo vế, ta được:
.
Phương trình viết lại hay do , quy đồng mẫu số phương trình và rút gọn ta được: , phương trình có biệt số nên có nghiệm hoặc .
Vậy hệ phương trình có nghiệm .
2. Hệ suy ra
, phương trình này có hai nghiệm: , hệ có nghiệm: hoặc
Dạng lượng giác của số phức
Phương pháp:
Công thức De – Moivre: Có thể nói công thức De – Moivre là một trong những công thức thú vị và là nền tảng cho một loạt công thức quan trọng khác sau này như phép luỹ thừa, khai căn số phức, công thức Euler.
Công thức 1:
Công thức 2 :
Số phức ta có:
Với và góc được gọi là argument của z, ký hiệu là . Ngược với phép luỹ thừa ta có phép khai căn
Ví dụ 7. Viết các số phức sau dưới dạng lượng giác . Từ đó hãy viết dạng đại số của
1. 2. 3.
Lời giải.
1. Ta có:
Vậy .
Vậy .
2. Ta có:
.
3. Ta có:
.
Ví dụ 8. Gọi là nghiệm của phương trình: . Tính giá trị biểu thức
Lời giải.
Phương trình: có biệt số
Dễ thấy . Khi đó
Suy ra phương trình cho có nghiệm
Mặt khác
.
Khi đó :
Cực trị của số phức
Ví dụ 9 Cho số phức thỏa mãn:. Tìm số phức có modul nhỏ nhất.
Lời giải.
Đặt . Khi đó
. Do đó các điểm biểu diễn số phức thoả mãn bài toán nằm trên đường tròn tâm và bán kính
đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi điểm và gần nhất .
Khi đó là giao điểm của và đường thẳng , với là giao điểm gần hơn và
Kẻ .
Theo định lí talet, ta có:
Lại có:
Vậy, số phức cần tìm là
Ví dụ 10 Cho số phức thỏa mãn . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của
Lời giải.
Cách 1: áp dụng bất đẳng thức tam giác, ta có
.
.
Cách 2: Đặt
Nên từ giả thiết
(*)
Do
Nên từ (*) ta có:
.
Tương tự như trên: và .
Chú ý: Ta có thể giải bài toán theo cách sau
Từ sao cho:
. Khi đó:
Do .
Ví dụ 11 Cho số phức .
1. Tìm để
