Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi Chuyên đề 13 KHỐI TỨ DIỆN VÀ KHỐI CHÓP Lê Hoành Phò File word là tài liệu môn Toán trong chương trình Lớp 12 được cungthi.vn tổng hợp và biên soạn. Tạo nguồn tài liệu giúp các bạn trong việc ôn tập
Những địa chỉ uy tín để bạn mua sách
Nội dung tóm tắt
Đặt mua trọn bộ đề thi HỌC SINH GIỎI môn Toán file word
Cách 1: Soạn tin “ Đăng ký đề HSG môn Toán” gửi đến số 0982.563.365
Cách 2: Đăng ký tại link sau http://dethithpt.com/dangkytoan/
Chuyên đề 13:KHỐI TỨ DIỆN VÀ KHỐI CHÓP
1.KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
- Hình chóp tam giác , tứ giác,...
- Hình chóp đều: đáy đa giác đều và các cạnh bên bằng nhau. Trung đoạn của hình chóp đều là đoạn nối đỉnh với trung điểm của cạnh đáy. Hình chóp đều thì hình chiếu của đỉnh chóp là tâm của đáy.
Thể tích khối chóp:
Thể tích hình chóp cụt:
Tỉ số thể tích 2 khối chóp tam giác:
Chú ý:
1) Tứ diện hay hình chóp tam giác có 4 cách chọn đỉnh chóp.
2) Tứ diện nội tiếp hình hộp, tứ diện gần đều (có 3 cặp cạnh đối bằng nhau) nội tiếp hình hộp chữ nhật và tứ diện đều nội tiếp hình lập phương.
3) Khi tính toán các đại lượng, nếu cần thì đặt ẩn rồi tìm phương trình để hướng dẫn giải ra ẩn đó. Để tính diện tích, thể tích có khi ta tính gián tiếp bằng cách chia nhỏ các phần hoặc lấy phần lớn hơn trừ đi các phần dư hoặc dùng tỉ số.
4) Thể tích khối lăng trụ: V = B.h.
2. CÁC BÀI TOÁN
Bài toán 13. 1: Tứ diện OABC có cạnh OA, OB, OC vuông góc với nhau từng đôi một và có OA = a, OB = b, OC= c. Gọi lần lượt là góc hợp bởi các mặt phẳng (OBC), (OCA), (OAB) với (ABC).
a) Chứng minh rằng
b) Tính diện tích tam giác HAB, HBC và HCA.
Hướng dẫn giải
Gọi H là hình chiếu vuông góc của đỉnh O xuống mặt phẳng (ABC) thì H là trực tâm của tam giác ABC với 3 đường cao AA', BB', C C'.
a) Ta có
nên
Tương tự
Từ hệ thức
Vậy
b) Ta có: và
nên: . Tương tự:
Bài toán 13. 2: Tứ diện OABC có OA = OB = OC = a và = = 60°, = 90°
a) Chứng minh ABC là tam giác vuông và OA BC.
b) Tìm đường vuông góc chung và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng OA và BC. Chứng minh (ABC) vuông góc (OBC).
Hướng dẫn giải
a) Vì AB = AC = 60°,
OA = OB = OC = a nên AB = AC = a.
Suy ra ABC = OBC.
Vậy tam giác ABC vuông cân tại A.
Gọi J là trung điểm cùa BC thì OJ BC, AJ BC nên OA BC.
b) Gọi I là trung điểm của OA, vì OJ = AJ nên IJOA, do đó IJ là đoạn vuông góc chung của OA và BC
.
Ta có OJ BC, AJ BC, IJ = OA nên tam giác OAJ vuông tại I. Do đó góc giữa mp(OBC) và mp(ABC) là góc OJA= 90°. Vậy mp(OBC) mp(ABC).
Bài toán 13. 3: Tính thể tích khối tứ diện ABCD có các cặp cạnh đối bằng nhau:
AB = CD = a, AC = BD = b, AD = BC = c.
Hướng dẫn giải
Dựng tứ diện APQR sao cho B, C, D lần lượt là trung điểm các cạnh QR, RP, PQ.
Ta có
mà D là trung điểm của PQ
Chứng minh tương tự, ta cũng có AQAR, ARAP.
Ta có:
Xét các tam giác vuông APQ, AQR, ARP ta có:
Suy ra:
Vậy:
Bài toán 13. 4: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC, có độ dài cạnh đáy bằng a.
Gọi M và N lần lượt là các trung điểm của các cạnh SB và SC. Tính theo a diện tích tam giác AMN, biết rằng mặt phẳng (AMN) vuông góc với mặt phẳng (SBC).
Hướng dẫn giải:
Gọi K là trung điểm của BC và .
Từ giả thiết suy ra , suy
Ra I là trung điểm của SK và MN.
Ta có nên hai trung tuyến tương ứng AM = AN, do đó AMN cân tại A, suy ra AI MN.
Mà (SBC) (AMN) AI (SBC) => AI SK.
Do đó cân tại A, suy ra SA = AK
Ta có nên:
Vậy: (đvđt)
Bài toán 13.5: Cho hình chóp O.ABC có các cạnh bên OA = a, OB = b, OC = c và chúng vuông góc với nhau từng đôi một:
a) Tính thể tích hình chóp O.ABC.
b) Tính chiều cao OH và diện tích tam giác ABC.
Hướng dẫn giải
a) Ta có AOOB và AO OC do đó OA (OBC) nên hình chóp O.ABC có thể coi là hình chóp A.OBC với đáy là OBC và đường cao là AO
Do đó: (đvtt)
b) Hạ OH (ABC) thì H là trực tâm của đáy.
Ta có:
Do đó:
Và (đvtt)
Bài toán 13. 6: Cho hình chóp S.ABC mà mỗi mặt bên là một tam giác vuông, SA = SB = SC = a. Gọi M, N, E lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AC, BC; D là điểm đối xứng của s qua E; I là giao điềm của đường thẳng AD với mặt phẳng (SMN)
a) Chứng minh rằng AD vuông góc với SI.
b) Tính theo a thể tích của khối tứ diện MBSI.
Hướng dẫn giải
a) Ta có SA (SBC) => SA BD.
Mà BDSB BD (SAB) BD SM.
Mà SM AD (do tam giác SAB vuông cân) ⟹SM (ABD) => SM AD.
Chứng minh tương tự ta có:
SN AD => AD (SMIN) => AD SI.
b) Ta có
Hạ IHAB thì IH//BD
Do đó:
Mặt khác SM(ABD) nên
Bài toán 13. 7: Một hình chóp P.ABC có hai mặt bên (PAB) và (PAC) cùng vuông góc với đáy. Đáy ABC là một tam giác cân đỉnh A có trung tuyến AD = m, PB tạo với đáy một góc và tạo với mặt phẳng (PAD) một góc
a) Chứng minh
b) Tính thể tích của hình chóp.
Hướng dẫn giải
a) Hai mặt bên (PAB), (PAC) cùng vuông góc với đáy, nên giao tuyến PA vuông góc với đáy.
Do đó AB là hình chiếu của PB trên đáy nên .
Tam giác ABC cân đỉnh A, nên trung tuyến AD BC, mà PA BC nên BC mp(PAD). Do đó PD là hình chiếu của PB trên mp(PAD) nên
Trong tam giác vuông PBD ta có:
Trong tam giác vuông PAD ta có: Vậy:
b) Đặt PB = x thì PA = xsin và PD = xcos,
BD = xsin. Trong tam giác vuông PAD ta có:
hay
Thể tích hình chóp
Vậy V=
Bài toán 13. 8: Cho tứ diện ABCD và các điểm M, N, p lần lượt thuộc các cạnh BC, BD, AC sao cho BC = 4BM, AC
