Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi Chuyên đề 21 Phuong trinh vo ti là tài liệu môn Toán trong chương trình Lớp 12 được cungthi.vn tổng hợp và biên soạn. Tạo nguồn tài liệu giúp các bạn trong việc ôn tập
Những địa chỉ uy tín để bạn mua sách
Nội dung tóm tắt
MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ CHO HỌC SINH GIỎI
§1. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ
1. MỘT SỐ QUY ƯỚC KHI ĐỌC CHUYÊN ĐỀ
1.1 Vt: Vế trái của phương trình. Vt: Bình phương của vế trái phương trình.
1.2 Vp: Vế phải của phương trình. Vp: Bình phương của vế phải phương trình.
1.3 Vt: Vế trái của phương trình .
1.4 Vp: Vế phải của phương trình .
1.5 Đk, đk: Điều kiện.
1.6 BĐT: Bất đẳng thức. HSG, HSG: Học sinh giỏi.
1.7 VMO, VMO: Thi học sinh giỏi Việt Nam, CMO: Thi học sinh giỏi Canada.
2. PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ
2.1 Một số lưu ý
Khi giải phương trình vô tỷ bằng phương pháp đặt ẩn phụ ta có thể gặp các dạng như:
2.1.1 Đặt ẩn phụ đưa phương trình đã cho về phương trình đại số không còn chứa căn thức với ẩn mới là ẩn phụ.
2.1.2 Đặt ẩn phụ mà vẫn còn ẩn chính, ta có thể tính ẩn này theo ẩn kia.
2.1.3 Đặt ẩn phụ để đưa phương trình về hệ hai phương trình với hai ẩn là hai ẩn phụ, cũng có thể hai ẩn gồm một ẩn chính và một ẩn phụ, thường khi đó ta được một hệ đối xứng.
2.1.4 Đặt ẩn phụ để được phương trình có hai ẩn phụ, ta biến đổi về phương trình tích với vế phải bằng 0.
Thường giải phương trình ta hay biến đổi tương đương, nếu biến đổi hệ quả thì nhớ phải thử lại nghiệm.
2.2 Một số ví dụ
Ví dụ 1. Giải các phương trình sau:
1) .
2) .
3) .
4) .
Hướng dẫn (HD): 1) Đặt với . Khi đó phương trình đã cho trở thành , suy ra , ta được . Từ đó phương trình có nghiệm là .
2) Ta có , với mọi x.
Mặt khác .
Đặt (có thể viết đk hoặc chính xác hơn là ), ta được
, ta được (loại ).
Từ đó phương trình có nghiệm là .
3) Ta thấy không thỏa mãn.
Khi đó phương trình tương đương với hệ .
Đặt, ta được .
Xét (do hai vế không âm).
Dẫn đến (do với mọi thỏa mãn (1)).
Từ đó phương trình có nghiệm là .
Nhận xét: Bài toán này ta có thể giải bằng Phương pháp đánh giá trong phần sau.
4) Ta có phương trình tương đương với
Xét (1), đặt , suy ra và .
Ta được
. Từ đó suy ra .
Thử lại ta được nghiệm của phương trình là và .
Nhận xét: Bài toán này ta có thể giải bằng Phương pháp lượng giác trong phần sau.
Ví dụ 2. Giải phương trình .
HD: Đặt , với . Khi đó ta được
.
Dẫn đến và . Từ đó phương trình có nghiệm là .
Ví dụ 3. Giải phương trình .
HD: Đặt với và . Khi đó ta được hệ .
Xét .
Suy ra được y - 2 = 0. Từ đó nghiệm của phương trình là x = 1 và x = -1.
Ví dụ 4. Giải các phương trình sau:
1) .
2) .
HD: 1) Đặt , với .
Khi đó ta được hệ .
Thế hoặc lại đặt rồi giải tiếp ta được nghiệm của phương trình là
; và .
2) Đặt .
Khi đó ta được hệ .
Xét hiệu hai phương trình dẫn đến (do ).
Thay vào hệ và giải phương trình ta được .
Ví dụ 5. Giải phương trình .
HD: Đk . Với điều kiện đó ta biến đổi phương trình đã cho như sau:
Đặt , với .
Ta được , từ đó ta được .
Nếu thì ta được (do).
Nếu thì ta được . Vậy phương trình có ba nghiệm trên.
Ví dụ 6. Giải phương trình , với .
Nhận xét: Dạng phương trình này ta thường đặt , sau đó bình phương lên rồi ta “cố ý” biến đổi về hệ đối xứng với hai ẩn . Từ đó ta sẽ biết được giá trị của a, b. Với bài toán này ta tìm được . (Nếu a = 1 và b = 0 mà giải được thì đó là phương trình quá đơn giản, ta không xét ở đây).
HD: Đặt , do nên , từ đó .
Ta được hệ . Giải hệ bình thường theo dạng ta được .
Ví dụ 7. Giải phương trình .
Nhận xét: Khi giải một phương trình không phải lúc nào cũng có nghiệm thực, có những phương trình vô nghiệm nhưng khi cho học sinh làm bài ta cũng kiểm tra được năng lực của học sinh khi trình bầy lời giải bài toán đó. Chẳng hạn như bài toán trong ví dụ này.
HD: Đặt = y với . Khi đó ta được hệ và từ phương trình ban đầu ta có . Xét hiệu hai phương trình của hệ ta được phương trình .
Với thì , dẫn đến vô nghiệm.
Còn với mọi và . Do đó hệ vô nghiệm hay phương trình đã cho vô nghiệm.
2.3 Một số bài tập tương tự
Bài 1. Giải các phương trình sau:
1) .
(HD: Đặt , ta được .
Từ đó và được nghiệm của phương trình là
).
2) .
(HD: Từ phương trình suy ra . Đặt , bình phương dẫn đến . Phương trình trở thành , ta được . Từ đó ).
Bài 2. Giải phương trình .
(HD: Đặt , với . Từ đó ta được . Phương trình có nghiệm ).
Bài 3. Giải các phương trình sau:
1) .
(HD: Đặt , với .
Ta được . Từ đó phương trình có 2 nghiệm ).
2) .
(HD: Đk . Đặt
và với .
Suy ra . Từ (1) thay vào (2) ta được . Xét hiệu hai bình phương suy ra .
Từ đó ta được nghiệm của phương trình là ).
Bài 4. Giải phương trình .
(HD: Đặt =, ta được .
Từ suy ra và , do đó .
Suy ra , ta được nghiệm , loại ).
Bài 5. Giải các phương trình sau:
1) .
(HD: Đặt , ta được
.
Nếu ta được (vô nghiệm).
Nếu ta được (thỏa mãn)).
2) .
(HD: Đk . Đặt và , với .
Khi đó ta được . Từ đó phương trình có bốn nghiệm là và ).
Bài 6. Giải các phương trình sau:
1) .
(HD: Đặt , ta được ).
2) , với.
(HD: Đặt ,được (loại), nếu thì ).
3) , với .
(HD
