Tài liệu Toán 12 chuyên đề DS C8 PHUONG TRINH MAT CAU là tài liệu môn Toán trong chương trình Lớp 12 được cungthi.vn tổng hợp và biên soạn. Tạo nguồn tài liệu giúp các bạn trong việc ôn tập
Những địa chỉ uy tín để bạn mua sách
Nội dung tóm tắt
Nguyễn Xuân Nam
CHỦ ĐỀ 2. PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN
1/ Định nghĩa:
2/ Các dạng phương trình mặt cầu :
Dạng 1 : Phương trình chính tắcMặt cầu (S) có tâm , bán kính .
Dạng 2 : Phương trình tổng quát (2)
Điều kiện để phương trình (2) là phương trình mặt cầu:
(S) có tâm .
(S) có bán kính: .
3/ Vị trí tương đối giữa mặt cầu và mặt phẳng :
Cho mặt cầu và mặt phẳng . Gọi H là hình chiếu vuông góc của I lên là khoảng cách từ I đến mặt phẳng . Khi đó :
+ Nếu : Mặt cầu và mặt phẳng không có điểm chung. + Nếu : Mặt phẳng tiếp xúc mặt cầu. Lúc đó: là mặt phẳng tiếp diện của mặt cầu và H là tiếp điểm. + Nếu Mặt phẳng cắt mặt cầu theo thiết diện là đường tròn có tâm I' và bán kính
Lưu ý: Khi mặt phẳng (P) đi qua tâm I thì mặt phẳng (P) được gọi là mặt phẳng kính và thiết diện lúc đó được gọi là đường tròn lớn.
4/ Vị trí tương đối giữa mặt cầu và đường thẳng :
Cho mặt cầu và đường thẳng . Gọi H là hình chiếu của I lên . Khi đó :
+ : không cắt mặt cầu. + : tiếp xúc với mặt cầu. là tiếp tuyến của (S) và H là tiếp điểm. + : cắt mặt cầu tại hai điểm phân biệt.
* Lưu ý: Trong trường hợp cắt (S) tại 2 điểm A, B thì bán kính R của (S) được tính như sau:
+ Xác định:
+ Lúc đó:
ĐƯỜNG TRÒN TRONG KHÔNG GIAN OXYZ
* Đường tròn (C) trong không gian Oxyz, được xem là giao tuyến của (S) và mặt phẳng.
* Xác định tâm I’ và bán kính R’ của (C).
+ Tâm .
Trong đó là đường thẳng đi qua và vuông góc với mp
+ Bán kính
5/ Điều kiện tiếp xúc : Cho mặt cầu (S) tâm I, bán kính R.
+ Đường thẳng là tiếp tuyến của (S)
+ Mặt phẳng là tiếp diện của (S)
* Lưu ý: Tìm tiếp điểm .
Sử dụng tính chất :
B. KỸ NĂNG CƠ BẢN
Dạng 1: VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU
Phương pháp:
* Thuật toán 1: Bước 1: Xác định tâm .
Bước 2: Xác định bán kính của (S).
Bước 3: Mặt cầu (S) có tâm và bán kính.
* Thuật toán 2: Gọi phương trình
Phương trình (S) hoàn toàn xác định nếu biết được ()
Bài tập 1 : Viết phương trình mặt cầu (S), trong các trường hợp sau:
a) có tâm và bán kính .
b) có tâm và (S) qua .
c) có đường kính AB với .
Bài giải:
a) Mặt cầu tâm và bán kính , có phương trình:
(S):
b) Ta có: .
Mặt cầu tâm và bán kính , có phương trình:
(S):
c) Ta có: .
Gọi I là trung điểm AB.
Mặt cầu tâm và bán kính , có phương trình:
(S): .
Bài tập 2 : Viết phương trình mặt cầu (S) , trong các trường hợp sau:
a) (S) qua và tâm I thuộc trục .
b) (S) có tâm O và tiếp xúc mặt phẳng .
c) (S) có tâm và có một tiếp tuyến là đường thẳng
Bài giải:
a) Gọi . Ta có : .
Do (S) đi qua A, B
và .
Mặt cầu tâm và bán kính , có phương trình (S) :
b) Do (S) tiếp xúc với
Mặt cầu tâm và bán kính , có phương trình (S) :
c) Chọn .
Đường thẳng có một vectơ chỉ phương là . Ta có: .
Do (S) tiếp xúc với .
Mặt cầu tâm và bán kính , có phương trình (S) :
Bài tập 3 : Viết phương trình mặt cầu (S) biết :
a) (S) qua bốn điểm .
b) (S) qua và có tâm I thuộc mặt phẳng (Oyz).
Bài giải:
a) Cách 1: Gọi là tâm mặt cầu (S) cần tìm.
Theo giả thiết: .
Do đó: và . Vậy (S) : .
Cách 2: Gọi phương trình mặt cầu (S) : , .
Do (1)
Tương tự: (2)
(3)
(4)
Giải hệ (1), (2), (3), (4) ta có , suy ra phương trình mặt cầu (S) :
.
b) Do tâm I của mặt cầu nằm trên mặt phẳng (Oyz).
Ta có: .
Vậy và . Vậy (S):
Bài tập 4: Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I thuộc đường thẳng và (S) tiếp xúc với hai mặt phẳng và .
Bài giải:
Gọi là tâm mặt cầu (S) cần tìm.
Theo giả thiết: .
Suy ra: và . Vậy (S) : .
Bài tập 5: Lập phương trình mặt cầu (S) qua 2 điểm và có tâm thuộc d: .
Bài giải:
Ta có . Gọi là tâm của mặt cầu (S) cần tìm.
Ta có: .
Theo giả thiết, do (S) đi qua A, B
và . Vậy (S): .
Bài tập 6: Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm và cắt đường thẳng tại hai điểm A, B với .
Bài giải:
Chọn . Đường thẳng có một vectơ chỉ phương là .
Ta có: .
Gọi R là bán kính mặt cầu (S). Theo giả thiết :
Vậy (S): .
Bài tập 7: Cho hai mặt phẳng và đường thẳng . Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I là giao điểm của (P) và sao cho (Q) cắt (S) theo một hình tròn có diện tích là .
Bài giải:
Ta có . Tọa độ I là nghiệm của hệ phương trình:
Thay (1), (2), (3) vào (4) ta có: .
Ta có : .
Gọi r là bán kính đường tròn giao tuyến của (S) và mặt phẳng (Q). Ta có:
R là bán kính mặt cầu (S) cần tìm.
Theo giả thiết: Vậy (S) : .
Bài tập 8: Cho mặt phẳng và đường thẳng .
Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I thuộc và I cách (P) một khoảng bằng 2 và (S) cắt (P) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính bằng 3.
Bài giải:
Gọi là tâm của mặt cầu (S) và R là bán kính của (S).
Theo giả thiết : .
Mặt khác:
* Với : Tâm, suy ra .
* Với : Tâm, suy ra .
Bài tập 9: Cho điểm và đường thẳng . Viết phương trình mặt cầu (S) tâm I và cắt tại hai điểm A, B sao cho vuông tại I.
Bài giải :
Đường thẳng có một vectơ chỉ phương và .
Ta có: . Suy ra: .
Gọi R là bán kính của (S). Theo giả thiết, vuôn
