TICH PHAN là tài liệu môn Toán trong chương trình Lớp 12 được cungthi.online tổng hợp và biên soạn từ các nguồn chia sẻ trên Internet. Tạo nguồn tài liệu giúp các bạn trong việc ôn luyện và học tập
Những địa chỉ uy tín để bạn mua sách
Nội dung tóm tắt
Mời quý thầy cô mua trọn bộ trắc nghiệm 12
BẢN MỚI NHẤT 2017
Liên hệ HUỲNH ĐỨC KHÁNH 0975.120.189
https://www.facebook.com/duckhanh0205
Baøi 03
TÍCH PHAÂN
1. Định nghĩa
Cho ( )f x là hàm số liên tục trên K và , a b là hai số bất kì thuộc K . Giả sử
( )F x là một nguyên hàm của ( )f x trên K thì hiệu số
( ) ( )F b F a−
được gọi là tích phân của ( )f x từ a đến b và kí hiệu là
( ) ( ) ( ) ( )d
b
b
a
a
f x x F x F b F a= = −∫ .
2. Tính chất
Tích phân tại một giá trị xác định của biến số thì bằng 0 , tức là ( )d 0
a
a
f x x =∫ .
Đổi cận thì đổi dấu, tức là ( ) ( )d d
b a
a b
f x x f x x=−∫ ∫ .
Hằng số trong tích phân có thể đưa ra ngoài dấu tích phân, tức là
( ) ( )d d
b b
a a
kf x x k f x x=∫ ∫ ( k là hằng số).
Tích phân một tổng bằng tổng các tích phân, tức là
( ) ( ) ( ) ( )d d d
b b b
a a a
f x g x x f x x g x x ± = ± ∫ ∫ ∫ .
Tách đôi tích phân, tức là ( ) ( ) ( )d d d
b c b
a a c
f x x f x x f x x= +∫ ∫ ∫ .
Chú ý: Tích phân ( )d
b
a
f x x∫ chỉ phụ thuộc vào hàm f và các cận , a b mà không
phụ thuộc vào biến số x , tức là ( ) ( )d d
b b
a a
f x x f t t=∫ ∫ .
CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
Vấn đề 1. TÍNH CHẤT TÍCH PHÂN
Câu 1. Giả sử hàm số ( )f x liên tục trên ℝ và các số thực .a b c< < Mệnh đề nào sau
đây sai?
A. ( ) ( ) ( )d d d .
c b c
a a b
f x x f x x f x x= +∫ ∫ ∫ B. ( ) ( ) ( )d d d .
b c c
a a b
f x x f x x f x x= −∫ ∫ ∫
C. ( ) ( ) ( )d d d .
b a c
a b a
f x x f x x f x x= +∫ ∫ ∫ D. ( ) ( ). d d .
b b
a a
c f x x c f x x=∫ ∫
Câu 1. Chọn C.
Câu 2. Cho ( ) ( ), f x g x là hai hàm số liên tục trên ℝ và các số thực , , a b c . Mệnh đề
nào sau đây sai?
A. ( ) ( )d d .
b b
a a
f x x f y y=∫ ∫
B. ( ) ( ) ( ) ( )d d d .
b b b
a a a
f x g x x f x x g x x + = + ∫ ∫ ∫
C. ( )d 0.
a
a
f x x =∫
D. ( ) ( ) ( ) ( ). d d . d .
b b b
a a a
f x g x x f x x g x x = ∫ ∫ ∫
Câu 2. Chọn D.
Câu 3. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
A.
1
1
d 1x
−
=∫ .
B. ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2. d d . d
b b b
a a a
f x f x x f x x f x x=∫ ∫ ∫ .
C. Nếu ( )f x liên tục và không âm trên đoạn [ ];a b thì ( )d 0
b
a
f x x ≥∫ .
D. ( ).d ,
b
a
k x k a b k= − ∀ ∈∫ ℝ .
Câu 3. Ta có
1 1
1
1
d 2.x x
−−
= =∫ Do đó A sai.
Theo tính chất tích phân thì B sai (vì không có tính chất này).
Xét đáp án C. Giả sử ( )F x là một nguyên hàm của hàm số ( )f x trên đoạn [ ];a b .
Suy ra ( ) ( ) [ ]/ 0, ;F x f x x a b= ≥ ∀ ∈ .
● ( ) [ ]/ 0, ;F x x a b= ∀ ∈ , suy ra ( )F x là hàm hằng nên ( ) ( )d 0.
b
b
a
a
f x x F x= =∫
● ( ) [ ]/ 0, ;F x x a b> ∀ ∈ , suy ra ( )F x đồng biến trên đoạn [ ];a b nên ( ) ( )F b F a> .
Do đó ( ) ( ) ( ) ( )d 0
b
b
a
a
f x x F x F b F a= = − >∫ . Do đó C đúng. Chọn C.
Ta có ( ).d . d .
b b b
a
a a
k x k x k x k b a= = = − →∫ ∫ D sai.
Câu 4. Cho hàm số ( )f x thỏa mãn ( )
5
2
d 10f x x =∫ . Tính ( )
2
5
2 4 d .I f x x = − ∫
A. 32.I = B. 34.I = C. 36.I = D. 40.I =
Câu 4. Ta có ( ) ( )
2 2 2
5 5 5
2 4 d 2 d 4 dI f x x x f x x = − = − ∫ ∫ ∫
( ) ( )
52
5
2
2 4 d 2. 2 5 4.10 34x f x x= + = − + =∫ . Chọn B.
Câu 5. Cho hàm số ( )f x thỏa mãn ( )
3
1
d 2016f x x =∫ và ( )
3
4
d 2017.f x x =∫
Tính tích phân ( )
4
1
d .I f x x= ∫
A. 4023.I = B. 1.I = C. 1.I =− D. 0.I =
Câu 5. Ta có ( ) ( ) ( )
4 3 4
1 1 3
d d dI f x x f x x f x x= = +∫ ∫ ∫
( ) ( )
3 3
1 4
d d 2016 2017 1f x x f x x= − = − =−∫ ∫ . Chọn C.
Câu 6. Cho hàm số ( )f x thỏa mãn ( )
2
1
d 1f x x =∫ và ( )
4
1
d 3f t t =−∫ .
Tính tích phân ( )
4
2
d .I f u u= ∫
A. 2I =− . B. 4I =− . C. 4.I = D. 2.I =
Câu 6. Ta có ( ) ( )
2 2
1 1
d d 1f u u f x x= =∫ ∫ và ( ) ( )
4 4
1 1
d d 3f u u f t t= =−∫ ∫ .
Suy ra ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
4 1 4 2 4
2 2 1 1 1
d d d d d 1 3 4.I f u u f u u f u u f u u f u u= = + =− + =− − =−∫ ∫ ∫ ∫ ∫
Chọn B.
Câu 7. Cho hàm số ( )f x thỏa mãn ( )
6
0
d 4f x x =∫ và ( )
6
2
d 3f x t =−∫ .
Tính tích phân ( )
2
0
3 d .I f v v = − ∫
A. 1.I = B. 2.I = C. 4.I = D. 3.I =
Câu 7. Ta có ( ) ( ) ( )
2 2 22
0
0 0 0
3 d d 3 d 6.I f v v f v v v f v v = − = − = − ∫ ∫ ∫
Mà ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 6 6 6 6
0 0 2 2 0 2
d d d d d df v v f v v f v v f v v f v v f v v= + − = −∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫
( ) ( ) ( )
6 6
0 2
d d 4 3 7.f x x f x x= − = − − =∫ ∫
Vậy 7 6 1I = − = . Chọn A.
Câu 8. Cho hàm số ( )f x thỏa mãn ( )
10
0
d 7f x x =∫ và ( )
6
2
d 3.f x x =∫
Tính tích phân ( ) ( )
2 10
0 6
d d .I f x x f x x= +∫ ∫
A. 10.I = B. 4.I = C. 7.I = D. 4.I =−
Câu 8. Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 10 2 6 10 6
0 6 0 2 6 2
d d d d d dI f x x f x x f x x f x x f x x f x x= + = + + −∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫
( ) ( )
10 6
0 2
d d 7 3 4.f x x f x x= − = − =∫ ∫ Chọn B.
Câu 9. Cho hàm số ( )f x thỏa mãn ( ) ( )d 10, d 8
d d
a b
f x x f x x= =∫ ∫ và ( )d 7
c
a
f x x =∫ .
Tính tích phân ( )d .
c
b
I f x x= ∫
A. 5I =− . B. 7.I = C. 5.I = D. 7I =− .
Câu 9. Ta có ( ) ( ) ( ) ( )d d d d
c d a c
b b d a
I f x x f x x f x x f x x= = + +∫ ∫ ∫ ∫
