Nội dung bài giảng
Viết phương trình chính tắc của đường elip (E) trong mỗi trường hợp sau
a) (E) có độ dài trục lớn bằng 8 và tâm sai \(e = {{\sqrt 3 } \over 2};\)
b) (E) có độ dài trục bé bằng 8 và tiêu cự bằng 4;
c) (E) có một tiêu điểm là \(F(\sqrt 3 ;0)\) và đi qua điểm \(M\left( {1;{{\sqrt 3 } \over 2}} \right).\)
Giải
a) Ta có:
\(\eqalign{
& 2a = 8 \Leftrightarrow a = 4 \cr
& e = {c \over a} = {{\sqrt 3 } \over 2} \Rightarrow c = 2\sqrt 3 \cr
& {b^2} = {a^2} - {c^2} = 16 - 12 = 4 \cr} \)
Vậy \((E):{{{x^2}} \over {16}} + {{{y^2}} \over 4} = 1.\)
b) Ta có:
\(\eqalign{
& 2b = 8 \Leftrightarrow b = 4 \cr
& 2c = 4 \Leftrightarrow c = 2 \cr
& {a^2} = {b^2} + {c^2} = 16 + 4 = 20 \cr} \)
Vậy \((E):{{{x^2}} \over {20}} + {{{y^2}} \over {16}} = 1.\)
c) Ta có: \(c = \sqrt 3 \Rightarrow {a^2} - {b^2} = 3\)
Giả sử: \((E):{{{x^2}} \over {{a^2}}} + {{{y^2}} \over {{b^2}}} = 1\)
\(M\left( {1;{{\sqrt 3 } \over 2}} \right) \in (E)\) nên \({1 \over {{a^2}}} + {3 \over {4{b^2}}} = 1\)
Ta có hệ phương trình:
\(\eqalign{
& \left\{ \matrix{
{a^2} - {b^2} = 3 \hfill \cr
{1 \over {{a^2}}} + {3 \over {4{b^2}}} = 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{a^2} = {b^2} + 3 \hfill \cr
{1 \over {{b^2} + 3}} + {3 \over {4{b^2}}} = 1 \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{a^2} = {b^2} + 3 \hfill \cr
4{b^2} + 3{b^2} + 9 = 4{b^4} + 12{b^2} \hfill \cr} \right. \cr&\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{a^2} = {b^2} + 3 \hfill \cr
4{b^4} + 5{b^2} - 9 = 0 \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
{b^2} = - {9 \over 4}\,(loai) \hfill \cr
{b^2} = 1 \Rightarrow {a^2} = 4 \hfill \cr} \right. \cr} \)
Vậy \((E):{{{x^2}} \over 4} + {{{y^2}} \over 1} = 1\)