Nội dung bài giảng
Chứng minh rằng:
a) \(2\sin ({\pi \over 4} + \alpha )\sin ({\pi \over 4} - \alpha ) = \cos 2\alpha \)
b) \(sinα (1 + cos2α) = sin2α cosα\)
c) \({{1 + \sin 2\alpha - \cos 2\alpha } \over {1 + \sin 2\alpha + \cos 2\alpha }} = \tan \alpha \) (khi các biểu thức có nghĩa)
d) \(\tan \alpha - {1 \over {\tan \alpha }} = - {2 \over {\tan 2\alpha }}\) (khi các biểu thức có nghĩa)
Đáp án
a) Ta có:
\(2\sin ({\pi \over 4} + \alpha ).sin({\pi \over 4} - \alpha ) \)
\(= \cos 2\alpha - \cos {\pi \over 2} = \cos 2\alpha \)
b) Ta có:
\(\eqalign{
& sin\alpha \left( {1 + cos2\alpha } \right) \cr&= \sin \alpha (1 + 2{\cos ^2}\alpha - 1) \cr
& = 2\sin \alpha {\cos ^2}\alpha = \sin 2\alpha \cos \alpha \cr} \)
c)
\(\eqalign{
& {{1 + \sin 2\alpha - \cos 2\alpha } \over {1 + \sin 2\alpha + \cos 2\alpha }} = {{\sin 2\alpha (1 - \cos 2\alpha )} \over {\sin 2\alpha (1 + \cos 2\alpha )}} \cr
& = {{\sin 2\alpha + 2{{\sin }^2}\alpha } \over {\sin 2\alpha + 2{{\cos }^2}\alpha }} = {{2\sin \alpha (cos\alpha + sin\alpha )} \over {2\cos \alpha (cos\alpha + sin\alpha )}} \cr&= \tan \alpha \cr} \)
d)
\(\tan \alpha - {1 \over {\tan \alpha }} = 2.{{{{\tan }^2}\alpha - 1} \over {2\tan \alpha }} = - {2 \over {\tan 2\alpha }}\)