Nội dung bài giảng
Bài 7. Cho \(\overrightarrow{a}\), \(\overrightarrow{b}\) là hai vectơ khác\(\overrightarrow{0}\). Khi nào có đẳng thức
a) \(\left | \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} \right | = \left | \overrightarrow{a} \right |\) + \(\left | \overrightarrow{b} \right |\);
b) \(\left | \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} \right |= \left | \overrightarrow{a}-\overrightarrow{b} \right |\).
Giải
a) Ta có \(\left | \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} \right | = \left | \overrightarrow{a} \right |\) + \(\left | \overrightarrow{b} \right |\)
Nếu coi hình bình hành \(ABCD\) có \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}= \overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{AD}= \overrightarrow{BC}= \overrightarrow{b}\) thì \(\left | \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} \right |\) là độ dài đường chéo \(AC\) và \(\left | \overrightarrow{a} \right |= AB\); \(\left | \overrightarrow{b} \right |= BC\).
Ta lại có: \(AC = AB + BC\)
Đẳng thức xảy ra khi điểm \(B\) nằm giữa hai điểm \(A, C\).
Vậy \(\left | \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} \right | = \left | \overrightarrow{a} \right |+ \left | \overrightarrow{b} \right |\) khi hai vectơ \(\overrightarrow{a}\), \(\overrightarrow{b}\) cùng hướng.
b) Tương tự, \(\left | \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} \right |\) là độ dài đường chéo \(AC\)
\(\left | \overrightarrow{a}-\overrightarrow{b} \right |\) là độ dài đường chéo \(BD\)
\(\left | \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} \right | =\left | \overrightarrow{a}-\overrightarrow{b} \right |\) \(\Rightarrow AC = BD\).
Hình bình hành \(ABCD\) có hai đường chéo bằng nhau nên nó là hình chữ nhật, ta có \(AD \perp AB\) hay \(\overrightarrow{a}\perp\overrightarrow{b}\).