Nội dung bài giảng
Bài 2. Giải các bất phương trình sau:
a) \(y'<0\) với \({{{x^2} + x + 2} \over {x - 1}}\)
b) \(y'≥0\) với \(y = \frac{x^{2}+3}{x+1}\);
c) \(y'>0\) với \(y = \frac{2x-1}{x^{2}+x+4}\).
Lời giải:
a) Ta có \( y'=\frac{(x^{2}+x+2)'.(x-1)-(x^{2}+x+2).(x-1)'}{(x-1)^{2}}\) = \( \frac{x^{2}-2x-3}{(x-1)^{2}}\)
Do đó, \(y'<0\Leftrightarrow \frac{x^{2}-2x-3}{(x-1)^{2}}\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x \ne 1 \hfill \cr
- 1 < x < 3 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \)\(x∈ (-1;1) ∪ (1;3)\).
b) Ta có \( y'=\frac{(x^{2}+3)'.(x+1)-(x^{2}+3).(x+1)'}{(x+1)^{2}}\) = \( \frac{x^{2}+2x-3}{(x+1)^{2}}\).
Do đó, \(y'≥0 \Leftrightarrow \frac{x^{2}+2x-3}{(x+1)^{2}}≥0 \)
\( \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x \ne - 1 \hfill \cr
\left[ \matrix{
x \ge 1 \hfill \cr
x \le - 3 \hfill \cr} \right. \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x \ge 1 \hfill \cr
x \le - 3 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow x∈ (-∞;-3] ∪ [1;+∞)\).
c).Ta có \( y'=\frac{(2x-1)'.(x^{2}+x+4)-(2x-1).(x^{2}+x+4)'}{(x^{2}+x+4)}=\frac{-2x^{2}+2x+9}{(x^{2}+x+4)}\).
Do đó, \(y'>0 \Leftrightarrow \frac{-2x^{2}+2x+9}{(x^{2}+x+4)} >0\Leftrightarrow -2x^2+2x +9>0 \)\(\Leftrightarrow \frac{1-\sqrt{19}}{2} < x < \frac{1+\sqrt{19}}{2}\Leftrightarrow x∈ \left ( \frac{1-\sqrt{19}}{2};\frac{1+\sqrt{19}}{2} \right )\)
Vì \(x^2+x +4 =\) \( \left ( x+\frac{1}{2} \right )^{2}\)+ \( \frac{15}{4} >0\), với \(∀ x ∈ \mathbb R\).