Nội dung bài giảng
Hãy tìm tam giác vuông có diện tích lớn nhất nếu tổng của một cạnh góc vuông và cạnh huyền bằng hằng số a (a > 0).
Hướng dẫn làm bài:
Kí hiệu cạnh góc vuông AB là x, \(0 < x < {a \over 2}\)
Khi đó, cạnh huyền BC = a – x , cạnh góc vuông kia là:
\(AC = \sqrt {B{C^2} - A{B^2}} = \sqrt {{{(a - x)}^2} - {x^2}} \)
Hay \(AC = \sqrt {{a^2} - 2ax} \)
Diện tích tam giác ABC là:
\(\eqalign{
& S(x) = {1 \over 2}x\sqrt {{a^2} - 2ax} \cr
& S'(x) = {1 \over 2}\sqrt {{a^2} - 2ax} - {1 \over 2}{{ax} \over {\sqrt {{a^2} - 2ax} }} = {{a(a - 3x)} \over {2\sqrt {{a^2} - 2ax} }} \cr
& S'(x) = 0 < = > x = {a \over 3} \cr} \)
Bảng biến thiên:
Tam giác có diện tích lớn nhất khi \(AB = {a \over 3};BC = {{2a} \over 3}\)