Nội dung bài giảng
Bài 3. Sử dụng phương pháp biến số, hãy tính:
a) \(∫{(1-x)}^9dx\) (đặt \(u =1-x\) ) ;
b) \(∫x{(1 + {x^2})^{{3 \over 2}}}dx\) (đặt \(u = 1 + x^2\) )
c) \(∫cos^3xsinxdx\) (đặt \(t = cosx\))
d) \(\int \frac{dx}{e^{x}+e^{-x}+2}\) (đặt \(u= e^x+1\))
Hướng dẫn giải:
a) Cách 1: Đặt \(u = 1 - x \Rightarrow du= -dx\). Khi đó ta được \(-\int u^{9}du = -\frac{1}{10}u^{10}+C\)
Suy ra \(\int(1-x)^{9}dx=-\frac{(1-x)^{10}}{10}+C\)
Cách 2: \(\smallint {\left( {1 - x} \right)^9}dx = - \smallint {\left( {1 - x} \right)^{9}}d\left( {1 - x} \right)=\) \(-\frac{(1-x)^{10}}{10} +C\)
b) Cách 1 : Tương tự cách 1 phần a.
Cách 2: \(\int x(1+x^{2})^{\frac{3}{2}}dx\) = \(\frac{1}{2}\int (1+x^{2})^{\frac{3}{2}}d(1+x^2{})\)
= \(\frac{1}{2}.\frac{2}{5}(1+x^{2})^{\frac{5}{2}}+C\) = \(\frac{1}{5}.(1+x^{2})^{\frac{5}{2}}+C\)
c)\(∫cos^3xsinxdx = -∫cos^3xd(cosx)\)
\(= -\frac{1}{4}.cos^{4}x + C\)
d) \(\int \frac{dx}{e^{x}+e^{-x}+2}\) = \(\int \frac{e^{x}}{e^{2x}+2e^{x}+1}dx\)= \(\int \frac{d(e^{x}+1)}{(e^{x}+1)^{2}}dx\)
=\(\frac{-1}{e^{x}+1} + C\).