Nội dung bài giảng
Bài 3. Parabol \(y = {{{x^2}} \over 2}\) chia hình tròn có tâm tại gốc tọa độ, bán kính \(2\sqrt2\) thành hai phần. Tìm tỉ số diện tích của chúng.
Hướng dẫn giải:
Đường tròn đã cho có phương trình \({x^{2}} + {\rm{ }}{y^2} = {\rm{ }}8\)
Từ đó ta có: \(y = \pm \sqrt {8 + {x^2}} \)
Tọa độ giao điểm của \((C)\) và \((P)\) thỏa mãn hệ:
\(\left\{ \matrix{
{x^2} = 2y \hfill \cr
{x^2} + {y^2} = 8 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{y^2} + 2y - 8 = 0 \hfill \cr
{x^2} = 2y \hfill \cr} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
y = 2 \hfill \cr
x = \pm 2 \hfill \cr} \right.\)
\(S_1 = 2\int_0^2 {\left( {\sqrt {8 - {x^2}} - {{{x^2}} \over 2}} \right)} d{\rm{x}}\)
\(= 2\int\limits_0^2 {\sqrt {8 - {x^2}} dx - \left[ {{{{x^3}} \over 3}} \right]} \left| {_0^2 = 2\int\limits_0^2 {\sqrt {8 - {x^2}} } dx - {8 \over 3}} \right.\)
Đặt \(x = 2\sqrt 2 \sin t \Rightarrow dx = 2\sqrt 2 {\mathop{\rm costdt}\nolimits} \)
Đổi cận: \(\eqalign{
& x = 0 \Rightarrow t = 0 \cr
& x = 2 \Rightarrow t = {\pi \over 4} \cr} \)
\({S_1} = 2\int\limits_0^{{\pi \over 4}} {\sqrt {8 - 8{{\sin }^2}t} .2\sqrt 2 {\rm{costdt - }}{8 \over 3}} \)
\( = 16\int\limits_0^{{\pi \over 4}} {{{\cos }^2}tdt - {8 \over 3}} \)\( = 8\int\limits_0^{{\pi \over 4}} {(1 + cos2t)dt - {8 \over 3}} \)
\(= [8t + 4sint2t]|_0^{{\pi \over 4}} - {8 \over 3} = 2\pi + {4 \over 3}\)
Diện tích hình tròn là: \(\pi R^2=8\pi\)
và \({S_2} = 8\pi - {S_1}=6\pi+{4\over 3}.\)
Vậy \({{{S_2}} \over {{S_1}}} = {{9\pi - 2} \over {3\pi + 2}}\).