Nội dung bài giảng
Tìm các đường tiệm của đồ thị các hàm số sau:
a) \(y = \sqrt {{x^2} - x + 1} \) b) \(y = x + \sqrt {{x^2} + 2x} \)
c) \(y = \sqrt {{x^2} + 3} \) d) \(y = x + {2 \over {\sqrt x }}\)
Giải
a) Ta có :
\(a = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {y \over x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {{\sqrt {{x^2} - x + 1} } \over x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {{x\sqrt {1 - {1 \over x} + {1 \over {{x^2}}}} } \over x} \)
\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \sqrt {1 - {1 \over x} + {1 \over {{x^2}}}} = 1\)
\(\eqalign{& b = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } (y - x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\sqrt {{x^2} - x + 1} - x} \right) \cr & = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {{ - x + 1} \over {\sqrt {{x^2} - x + 1} + x}} \cr & = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {{ - 1 + {1 \over x}} \over {\sqrt {1 - {1 \over x} + {1 \over {{x^2}}}} + 1}} = - {1 \over 2} \cr} \)
Đường thẳng \(y = x - {1 \over 2}\) là tiệm cận xiên của đồ thị (khi \(x \to + \infty \))
\(\eqalign{& a = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {y \over x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{\sqrt {{x^2} - x + 1} } \over x} \cr&= \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{ - x\sqrt {1 - {1 \over x} + {1 \over {{x^2}}}} } \over x} \cr & = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {\sqrt {1 - {1 \over x} + {1 \over {{x^2}}}} } \right) = - 1 \cr} \)
\(\eqalign{& b = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } (y + x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {\sqrt {{x^2} - x + 1} + x} \right) \cr&= \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{ - x + 1} \over {\sqrt {{x^2} - x + 1} - x}} \cr & = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{ - x + 1} \over { - x\sqrt {1 - {1 \over x} + {1 \over {{x^2}}}} - x}} \cr&= \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{ - 1 + {1 \over x}} \over { - \sqrt {1 - {1 \over x} + {1 \over {{x^2}}}} - 1}} = {1 \over 2} \cr} \)
Đường thẳng \(y =- x + {1 \over 2}\) là tiệm cận xiên của đồ thị (khi \(x \to - \infty \)) (h.1.12)
b) Tiệm cận xiên: y = 2x + 1 (khi \(x \to + \infty \))
Tiệm cận ngang: y = -1 (khi \(x \to - \infty \))
c) Tiệm cận xiên: y = x (khi \(x \to + \infty \))
Tiệm cận ngang: y = -x (khi \(x \to - \infty \))
d) Tiệm cận đứng: x = 0 (khi \(x \to {0^ + }\))
Tiệm cận xiên: y = x (khi \(x \to + \infty \)) (h.1.14)
