Nội dung bài giảng
Hãy chứng minh
a)\({\log _{{1 \over 2}}}3 + {\log _3}{1 \over 2} < - 2;\) b)\({4^{{{\log }_5}7}} = {7^{{{\log }_5}4}};\)
c) \({\log _3}7 + {\log _7}3 > 2;\) d) \({3^{{{\log }_2}5}} = {5^{{{\log }_2}3}}.\)
Giải
a) Ta có \({\log _{{1 \over 2}}}3 = {1 \over {{{\log }_3}{1 \over 2}}}\)và\({1 \over {\left| {{{\log }_3}{1 \over 2}} \right|}} + \left| {{{\log }_3}{1 \over 2}} \right| > 2\)
( theo công thức đổi cơ số của lôgarit,bất đẳng thức Cô- si và \({1 \over {\left| {{{\log }_3}{1 \over 2}} \right|}} \ne \left| {{{\log }_3}{1 \over 2}} \right|)\)
Mặt khác, \({\log _3}{1 \over 2} < 0\) nên \( - {1 \over {{{\log }_3}{1 \over 2}}} - {\log _3}{1 \over 2} > 2\), hay \({\log _{{1 \over 2}}}3 + {\log _3}{1 \over 2} < - 2\)
b) \({4^{{{\log }_5}7}} = {7^{{{\log }_5}4}} \Leftrightarrow {\log _4}{4^{{{\log }_5}7}} = {\log _4}{7^{{{\log }_5}4}} \)
\(\Leftrightarrow {\log _5}7 = {\log _5}4.{\log _4}7\).
Đẳng thức cuối cùng đúng suy ra đẳng thức đầu tiên đúng .
c) Ta có \({\log _3}7 > 0\),\({\log _7}3 > 0\) và \({\log _3}7 = {1 \over {{{\log }_7}3}} \ne {\log _7}3\).
Theo bất đẳng thức Cô-si, ta có
\({1 \over {{{\log }_7}3}} + {\log _7}3 > 2\),suy ra \({\log _3}7 + {\log _7}3 > 2\).
d) \({3^{{{\log }_2}5}} = {5^{{{\log }_2}3}} \Leftrightarrow {\log _3}{3^{{{\log }_2}5}} = {\log _3}{5^{{{\log }_2}3}}\)
\(\Leftrightarrow {\log _2}5 = {\log _2}3.{\log _3}5\).
Đẳng thức cuối cùng đúng suy ra đẳng thức đầu tiên đúng .