Giải bài tập sgk Toán nâng cao Luyện tập (trang 199)

Nội dung bài giảng

Bài tập (trang 199 sgk Giải Tích 12 nâng cao)

Bài 23 (trang 199 sgk Giải Tích 12 nâng cao):

Giải Phương trình z=(1/z)+k trong các trường hợp sau:

a)     k =1 b) k=√2 c) k = 2i

Lời giải:

a)     Khi k = 1 ta có Phương trình: z+(1/z)=1, điều kiện z ≠ 0 phương trình:

<=> z2-z+1=0,có Δ=1-4=-3=(√3 i)2

b)     Khi k = √2 ta có Phương trình: z2-√2 z+1=0

có Δ=2-4=-2=(√2 i)2

c)     Khi k = 2i ta có Phương trình: z2-2iz+1=0

Có Δ=(2i)2-4=-8=(2 √2i)2

Nên suy ra z1=(2i-2 √2 i)/2=(1-√2)i;z2=(1+√2)i

Vậy Phương trình có hai nghiệm là: (1-√2 i) và (1+√2i)

Bài 24 (trang 199 sgk Giải Tích 12 nâng cao):

Giải các phương trình sau và biểu diễn hình học tập hợp các nghiệm của mỗi Phuong trình trong mặt phẳng số phức.

a)     z3+1=0

b) z4-1=0

c) z4+4=0

d) 8z4+8z3=z+1

Lời giải:

a)     <=> (z+1)(z2-z+1)=0

b)     <=> (z-1)(z+1)(z2+1)=0 <=> z=±1 và z=±i

c)     <=> ((z2 )2-(2i)2 )2=0 <=> (z2-2i)(z2+2i)=0

d)     <=> 8z3 (z+1)=z+1 <=> (z+1)(8z4-1)=0

<=> (z+1)(2z-1)(4z2+2z+1)=0

Vậy Phương trình có 4 nghiệm là:

Vậy Phương trình có 4 nghiệm là:

Bài 25 (trang 199 sgk Giải Tích 12 nâng cao):

a)     Tìm các số thực a, b để Phương trình (với ẩn z).

z2+bz+c=0 nhận z=1+i làm một nghiệm.

b)     Tìm các số thực a, b, c để Phương trình (với ẩn z): z3+az2+bz+c=0 nhận z = 1 +I làm nghiệm và cũng nhận z = 2 làm nghiệm.

Lời giải:

a)     Vì z=1+i làm nghiệm đúng của: z2+bz+c=0 nên: (1+i)2+b(1+i)+c=0

<=> 1+2i-1+b+bi+c=0 <=> (b+c)+(2+b)i=0

Vậy b = -2 và c = 2 là giá trị cần tìm.

b)     Vì z=1+i và z=2 là nghiệm của Phương trình: z3+az2+bz+c=0 nên ta có:

Vậy a = -4 và b = 6 và c = -4 là giá trị cần tìm.

Bài 26 (trang 199 sgk Giải Tích 12 nâng cao):

a)     Dùng công thức lượng giác để chứng minh rằng với mọi số thức φ, ta có:

(cos⁡φ+i sin⁡φ )2=cos⁡2φ+isin 2φ

Từ đó hãy tìm mọi căn bậc hai của số thức: cos⁡2φ+isin 2φ. Hãy so sánh cách giải thích này với cách giải thích học ở bài §2.

Lời giải:

a)     Ta có: (cos⁡φ+i sin⁡φ )2=(cos2⁡φ-sin2⁡φ )+2sinφcosφi=cos⁡2φ+isin 2φ

Suy ra cos⁡2φ+isin 2φ có căn bậc hai là:

cos⁡φ+i sin⁡φ và -cos⁡φ-i sin⁡φ

nhận xét: các giải thích này rất thuận lợi cho việc tìm căn bậc hai của số phức: z=a+bi với a2+b2=1

Ta có:

Theo câu a) thì số cos⁡(π/4)-i sin⁡(π/4) có căn bậc hai là: