Nội dung bài giảng
Chú ý rằng nếu c > 0 thì \({\left( {a + b} \right)^2} + c\) và \({\left( {a - b} \right)^2} + c\) đều dương với mọi a, b. Áp dụng điều này chứng minh rằng :
a. Với mọi giá trị của x khác ± 1, biểu thức
\({{x + 2} \over {x - 1}}.\left( {{{{x^3}} \over {2x + 2}} + 1} \right) - {{8x + 7} \over {2{x^2} - 2}}\) luôn luôn có giá trị dương;
b. Với mọi giá trị của x khác 0 và khác – 3 , biểu thức :
\({{1 - {x^2}} \over x}.\left( {{{{x^2}} \over {x + 3}} - 1} \right) + {{3{x^2} - 14x + 3} \over {{x^2} + 3x}}\) luôn luôn có giá trị âm.
Giải:
a. \({{x + 2} \over {x - 1}}.\left( {{{{x^3}} \over {2x + 2}} + 1} \right) - {{8x + 7} \over {2{x^2} - 2}}\) điều kiện \(x \ne 1\) và \(x \ne - 1\)
\(\eqalign{ & = {{x + 2} \over {x - 1}}.{{{x^3} + 2x + 2} \over {2\left( {x + 1} \right)}} - {{8x + 7} \over {2\left( {{x^2} - 1} \right)}} \cr & = {{\left( {x + 2} \right)\left( {{x^3} + 2x + 2} \right)} \over {2\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} - {{8x + 7} \over {2\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} \cr & = {{{x^4} + 2{x^2} + 2x + 2{x^3} + 4x + 4 - 8x - 7} \over {2\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} \cr & = {{{x^4} + 2{x^3} + 2{x^2} - 2x - 3} \over {2\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} = {{{x^4} - {x^2} + 2{x^3} - 2x + 3{x^2} - 3} \over {2\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} \cr & = {{{x^2}\left( {{x^2} - 1} \right) + 2x\left( {{x^2} - 1} \right) + 3\left( {{x^2} - 1} \right)} \over {2\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} = {{\left( {{x^2} - 1} \right)\left( {{x^2} + 2x + 3} \right)} \over {2\left( {{x^2} - 1} \right)}} \cr & = {{{x^2} + 2x + 3} \over 2} \cr} \)
Biểu thức dương khi \({x^2} + 2x + 3 > 0\) ta có : \({x^2} + 2x + 3 = {x^2} + 2x + 1 + 2 = {\left( {x + 1} \right)^2} + 3 > 0\) với mọi giá trị của x.
Vậy giá trị của biểu thức dương với mọi giá trị \(x \ne - 1\) và \(x \ne 1\)
b. \({{1 - {x^2}} \over x}.\left( {{{{x^2}} \over {x + 3}} - 1} \right) + {{3{x^2} - 14x + 3} \over {{x^2} + 3x}}\) điều kiện \(x \ne 0\) và \(x \ne - 3\)
\(\eqalign{ & = {{1 - {x^2}} \over x}.{{{x^2} - \left( {x + 3} \right)} \over {x + 3}} + {{3{x^2} - 14x + 3} \over {x\left( {x + 3} \right)}} = {{\left( {1 - {x^2}} \right)\left( {{x^2} - x - 3} \right)} \over {x\left( {x + 3} \right)}} + {{3{x^2} - 14x + 3} \over {x\left( {x + 3} \right)}} \cr & = {{{x^2} - x - 3 - {x^4} + {x^3} + 3{x^2} + 3{x^2} - 14x + 3} \over {x\left( {x + 3} \right)}} \cr & = {{ - {x^4} + {x^3} + 7{x^2} - 15x} \over {x\left( {x + 3} \right)}} = {{x\left( { - {x^3} + {x^2} + 7x - 15} \right)} \over {x\left( {x + 3} \right)}} \cr & = {{ - {x^3} + {x^2} + 7x - 15} \over {x + 3}} = {{ - {x^3} - 3{x^2} + 4{x^2} + 12x - 5x - 15} \over {x + 3}} \cr & = {{ - {x^2}\left( {x + 3} \right) + 4x\left( {x + 3} \right) - 5\left( {x + 3} \right)} \over {x + 3}} = {{\left( {x + 3} \right)\left( { - {x^2} + 4x - 5} \right)} \over {x - 3}} \cr & = - {x^2} + 4x - 5 = - \left( {{x^2} - 4x + 5} \right) \cr} \)
Vì \({x^2} - 4x + 5 = {x^2} - 4x + 4 + 1 = {\left( {x - 2} \right)^2} + 1 > 0\) với mọi giá trị của x
nên \( - \left[ {{{\left( {x + 2} \right)}^2} + 1} \right] < 0\) với mọi giá trị của x.
Vậy giá trị của biểu thức luôn luôn âm với mọi giá trị \(x \ne 0\)và \(x \ne - 3\)