Nội dung bài giảng
Cho tam giác ABC vuông tại A, góc \(\widehat B = 60^\circ \) và BC = 2a.(đơn vị độ dài). Quay tam giác đó một vòng quanh cạnh huyền BC. Hãy tính diện tích xung quanh và thể tích của hình tạo thành.
Giải
Khi quay tam giác vuông ABC một vòng xung quanh cạnh huyền BC ta thu được hai hình nón có đáy úp vào nhau, bán kính đường tròn đáy bằng đường cao AH kẻ từ A đến canh huyền BC.
Trong tam giác vuông ABC ta có:
AB = BC. cosB = 2a. cos60º = 2a.\({1 \over 2}\) = a
AC = BC. sinB = 2a. sin60º =\(2a.{{\sqrt 3 } \over 2} = a\sqrt 3 \)
AH =\({{AB.AC} \over {BC}} = {{a.a\sqrt 3 } \over {2a}} = {{a\sqrt 3 } \over 2}\)
Diện tích xung quanh hình tạo thành:
S = π. AH: AB + π AH. AC
= \(\pi {{a\sqrt 3 } \over 2}(a + a\sqrt 3 ) = {{\pi {a^2}(3 + \sqrt 3 )} \over 2}\) (đơn vị diện tích)
Thể tích hình tạo thành:
\(V = {1 \over 3}\pi A{H^2}.BH + {1 \over 3}\pi A{H^2}.HC = {1 \over 3}\pi A{H^2}(BH + HC)\)
\(\eqalign{
& V = {1 \over 3}\pi A{H^2}.BC = {1 \over 3}\pi {\left( {{{a\sqrt 3 } \over 2}} \right)^2}.2a \cr
& = {1 \over 3}\pi {{{a^2}.3} \over 4}.2a = {{\pi {a^2}} \over 2} \cr} \)