Bạn An có một tấm bìa hình tròn như hình vẽ, An muốn biến hình tròn đó thành một cái phễu hình nón. Khi đó An phải cắt bỏ hình quạt tròn $A O B$ rồi dán hai bán kính $O A$ và $O B$ lại với nhau . Gọi $x$ là góc ở tâm hình quạt tròn dùng làm phễu. Tìm $x$ để thể tích phễu lớn nhất?

\frac{π}{4}

\frac{π}{3}

\frac{2 \sqrt{6} π}{3}

\frac{π}{2}

Đáp án và lời giải

Đáp án:C

Lời giải:Lời giải
Chọn C
Gọi

r, l

lần lượt là bán kính đáy và đường sinh của hình nón

\Rightarrow l = O A = c onst

Khi đó chiều cao của nón là:

h = \sqrt{l^{2} - r^{2}} = \sqrt{O A^{2} - r^{2}}

Ta có công thức tính góc ở tâm hình quạt tròn dùng làm phễu là:

x = \frac{r}{l} 2 π \Rightarrow r = \frac{l x}{2 π} = \frac{O A . x}{2 π}

V = \frac{1}{3} h . π r^{2} = \frac{1}{3} π \frac{O A^{2} x^{2}}{4 π^{2}} \sqrt{O A^{2} - \frac{O A^{2} x^{2}}{4 π^{2}}} = \frac{O A^{3}}{24 π^{2}} x^{2} \sqrt{4 π^{2} - x^{2}}, (x \in [- 2 π; 2 π])

Xét hàm số

f (x) = x^{2} \sqrt{4 π^{2} - x^{2}}

f' (x) = 2 x \sqrt{4 π^{2} - x^{2}} - \frac{x^{3}}{\sqrt{4 π^{2} - x^{2}}} = \frac{x (8 π^{2} - 3 x^{2})}{\sqrt{4 π^{2} - x^{2}}}

Ta có BBT:

Dựa vào BBT, xét trên

[- 2 π; 2 π]

để thể tích phễu lớn nhất thì

x = \frac{2 \sqrt{6}}{3} π

Vậy đáp án đúng là C.

Câu hỏi thuộc đề thi sau. Bạn có muốn thi thử?

Làm bài

Câu hỏi Toán học