Cho tam giác $O A B$ vuông cân tại $O$ , có $O A = 4$ . Lấy điểm $M$ thuộc cạnh $A B$ ( $M$ không trùng với $A$ , $B$ ) và gọi $H$ là hình chiếu của $M$ trên $O A$ . Tìm giá trị lớn nhất của thể tích khối tròn xoay được tạo thành khi quay tam giác $O M H$ quanh $O A$ .

\frac{128 π}{81}

\frac{81 π}{256}

\frac{256 π}{81}

\frac{64 π}{81}

Đáp án và lời giải

Đáp án:C

Lời giải:Lời giải
Chọn C

Đặt

h = O H

0 < h < 4

.
Khi quay tam giác

O M H

quanh

O A

, ta được hình nón đỉnh

O

chiều cao

h

bán kính đáy

r = H M

.
Ta có

H M // O B

nên

\frac{A H}{A O} = \frac{H M}{O B}

\Rightarrow \frac{4 - h}{4} = \frac{r}{4}

\Rightarrow r = 4 - h

V = \frac{1}{3} π r^{2} h

= \frac{1}{3} π {(4 - h)}^{2} . h

= \frac{1}{6} π (4 - h) (4 - h) . 2 h

\leq \frac{1}{6} π {(\frac{4 - h + 4 - h + 2 h}{3})}^{3}

= \frac{256 π}{81}

.
Vậy

V_{\max} = \frac{1}{3} π . \frac{256}{27}

= \frac{256 π}{81}

Vậy đáp án đúng là C.

Câu hỏi thuộc đề thi sau. Bạn có muốn thi thử?

Làm bài

Câu hỏi Toán học