. Cho chiếc trống như hình vẽ, có đường sinh là nửa elip được cắt bởi trục lớn với độ dài trục lớn bằng 80 cm, độ dài trục bé bằng 60 cm và đáy trống là hình tròn có bán kính bằng 60 cm. Tính thể tích $V$ của chiếc trống .

V = 344963 {cm}^{3}

V = 344964 {cm}^{3}

V = 208347 {cm}^{3}

V = 208346 {cm}^{3}

Đáp án và lời giải

Đáp án:B

Lời giải:Lời giải
Chọn B

Dựng hệ tọa độ

O x y

như hình vẽ, với gốc tọa độ

O

là trung điểm của trục của trống.

Gọi

(E)

là elip có phương trình

\frac{x^{2}}{40^{2}} + \frac{y^{2}}{30^{2}} = 1.

Tịnh tiến

(E)

theo vectơ

\vec{u} = (0; 60)

ta được elip

(E_{1}) :

\frac{x^{2}}{40^{2}} + \frac{{(y - 60)}^{2}}{30^{2}} = 1

\frac{x^{2}}{40^{2}} + \frac{{(y - 60)}^{2}}{30^{2}} = 1 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} y = 60 - \frac{3}{4} \sqrt{1600 - x^{2}} \\ y = 60 + \frac{3}{4} \sqrt{1600 - x^{2}} \end{array}

.
Xét hình phẳng

(H)

giới hạn bởi các đường

y = 60 - \frac{3}{4} \sqrt{1600 - x^{2}}, y = 0, x = - 40, x = 40.

Thể tích

V

của chiếc trống chính là thể tích của khối tròn xoay tạo thành do hình phẳng

(H)

quay quanh trục

O x .

Do đó

V = π \int_{- 40}^{40} {(60 - \frac{3}{4} \sqrt{1600 - x^{2}})}^{2} d x = π \int_{- 40}^{40} [(4500 - \frac{9}{16} x^{2}) - 90 \sqrt{1600 - x^{2}}] d x

= π \int_{- 40}^{40} (4500 - \frac{9}{16} x^{2}) d x - 90 π \int_{- 40}^{40} \sqrt{1600 - x^{2}} d x

\cdot \int_{- 40}^{40} (4500 - \frac{9}{16} x^{2}) d x = 2 \int_{0}^{40} (4500 - \frac{9 x^{2}}{16}) d x = 2 {(4500 x - \frac{3}{16} x^{3})|}_{0}^{40} = 2 (4500. 40 - \frac{3}{16} {. 40}^{3}) = 336000

\cdot

Tích phân

\int_{- 40}^{40} \sqrt{1600 - x^{2}} d x

là diện tích của hình thang cong giới hạn bởi các đường

y = \sqrt{1600 - x^{2}}

, y = 0, x = - 40, x = 40

, hình thang cong này chính là nửa hình tròn tâm

O (0; 0),

bán kính

R = 40

nằm phía trên trục

O x .

Do đó

\int_{- 40}^{40} \sqrt{1600 - x^{2}} d x = \frac{1}{2} π R^{2} = 800 π .

Vậy

V = 336000 π - 90 π . 800 π \approx 344963,61472773

({cm}^{3})

.
Kết quả lấy xấp xỉ đến hàng đơn vị ta được

V \approx 344964 ({cm}^{3}) .

Vậy đáp án đúng là B.

Câu hỏi thuộc đề thi sau. Bạn có muốn thi thử?

Làm bài

Câu hỏi Toán học