Cho hai số thực dương $x$ , $y$ thỏa mãn $2^{y} + y = 2 x + \log_{2} (x + 2^{y - 1})$ . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = \frac{x}{y}$ bằng

\frac{e + \ln 2}{2}

\frac{e - \ln 2}{2}

\frac{e \ln 2}{2}

\frac{e}{2 \ln 2}

Đáp án và lời giải

Đáp án:C

Lời giải:Lời giải

2^{y} + y = 2 x + \log_{2} (x + 2^{y - 1}) \Leftrightarrow 2^{y} + y = 2 x + \log_{2} (\frac{2 x + 2^{y}}{2})

\Leftrightarrow 2^{y} + y = 2 x + \log_{2} (2 x + 2^{y}) - 1

(1)

Đặt

t = \log_{2} (2 x + 2^{y})

\Rightarrow 2 x + 2^{y} = 2^{t}

\Rightarrow 2 x = 2^{t} - 2^{y}

.
PT (1) trở thành:

2^{y} + y = 2^{t} - 2^{y} + t - 1

\Leftrightarrow 2^{y + 1} + y + 1 = 2^{t} + t

(2)

Xét hàm số

f (t) = 2^{t} + t, t \in ℝ

. Vì

f^{'} (x) = 2^{t} \ln 2 + 1 > 0, \forall t \in ℝ

nên

f (t)

đồng biến trên

ℝ

.
PT

(2)

trở thành:

f (y + 1) = f (t)

\Leftrightarrow t = y + 1

.
Ta có PT:

\log_{2} (2 x + 2^{y}) = y + 1 \Leftrightarrow 2 x + 2^{y} = 2^{y + 1} \Leftrightarrow 2 x = 2^{y} \Leftrightarrow x = 2^{y - 1}

.
Khi đó

P = \frac{x}{y}

= \frac{2^{y - 1}}{y}

\Rightarrow P^{'} = \frac{2^{y - 1} y \ln 2 - 2^{y - 1}}{y^{2}} = \frac{2^{y - 1} (y \ln 2 - 1)}{y^{2}}

;

P^{'} = 0 \Leftrightarrow y \ln 2 - 1 = 0

\Leftrightarrow y = \frac{1}{\ln 2}

.
Bảng biến thiên:

Vậy

P_{\min} = \frac{e \ln 2}{2}

khi

x = \frac{e}{2}

và

y = \frac{1}{\ln 2}

\Rightarrow

Chọn đáp án C

Câu hỏi thuộc đề thi sau. Bạn có muốn thi thử?

Làm bài

Câu hỏi Toán học