Cho hàm số $y = f (x)$ có đồ thị $(C)$ nằm trên trục hoành. Hàm số $y = f (x)$ thỏa mãn các điều kiện ${(y^{'})}^{2} + y^{″} . y = - 4$ và $f (0) = 1; f (\frac{1}{4}) = \frac{\sqrt{5}}{2}$ . Diện tích hình phẳng giới hạn bởi $(C)$ và trục hoành gần nhất với số nào dưới đây?

0, 95

0, 96

0, 98

0, 97

Đáp án và lời giải

Đáp án:C

Lời giải:Lời giải
Chọn C
Ta có

{(y^{'})}^{2} + y^{″} . y = - 4 \Leftrightarrow {(y^{'} . y)}^{'} = - 4

Lấy nguyên hàm hai vế của ta được

y^{'} . y = - 4. \int d x \Rightarrow y^{'} . y = - 4 x + C_{1}

.
Lấy nguyên hàm hai vế của ta được

\frac{y^{2}}{2} = - 2 x^{2} + C_{1} x + C_{2} \Rightarrow y^{2} = - 4 x^{2} + 2 C_{1} x + 2 C_{2}

.
Từ

f (0) = 1; f (\frac{1}{4}) = \frac{\sqrt{5}}{2}

thay vào ta được hệ

\{\begin{cases} C_{2} = \frac{1}{2} \\ \frac{1}{4} C_{1} + C_{2} = \frac{3}{4} \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} C_{2} = \frac{1}{2} \\ C_{1} = 1 \end{cases}

Suy ra

y^{2} = - 4 x^{2} + 2 x + 1

.
Do đồ thị

(C)

nằm trên trục hoành nên ta được

y = \sqrt{- 4 x^{2} + 2 x + 1}

.
Giao điểm của

(C)

với

O x

có hoành độ là nghiệm của phương trình

\sqrt{- 4 x^{2} + 2 x + 2} = 0 \Leftrightarrow x = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{4}

.
Diện tích hình phẳng cần tìm

S = \int_{\frac{1 - \sqrt{5}}{4}}^{\frac{1 + \sqrt{5}}{4}} \sqrt{- 4 x^{2} + 2 x + 1} d x \approx 0, 98

Vậy đáp án đúng là C.

Câu hỏi thuộc đề thi sau. Bạn có muốn thi thử?

Làm bài

Câu hỏi Toán học