Cho hàm số $y = x^{4} - 6 x^{2} + m$ có đồ thị $(C_{m})$ . Giả sử $(C_{m})$ cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt sao cho hình phẳng giới hạn bởi $(C_{m})$ và trục hoành có phần phía trên trục hoành và phần phía dưới trục hoành có diện tích bằng nhau. Khi đó $m = \frac{a}{b}$ . Giá trị của biểu thức $S = a + b$ là:

A.7.

B.6.

C.5.

D.4.

Đáp án và lời giải

Đáp án:B

Lời giải:Lời giải
Chọn B
Phương trình hoành độ giao điểm:

x^{4} - 6 x^{2} + m = 0

(1)

.
Đặt

t = x^{2}

(t \geq 0)

(1)

trở thành

t^{2} - 6 t + m = 0

(2)

(C_{m})

cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt thì phương trình

(1)

có 4 nghiệm phân biệt hay phương trình

(2)

có hai nghiệm dương phân biệt

\Leftrightarrow \{\begin{matrix} Δ^{'} = {(- 3)}^{2} - m > 0 \\ P = m > 0 \\ S = 6 > 0 \end{matrix}

\Leftrightarrow 0 < m < 9

(*)

.
Gọi

t_{1}

t_{2}

(0 < t_{1} < t_{2})

là hai nghiệm của phương trình

(2)

. Lúc đó phương trình

(1)

có bốn nghiệm phân biệt theo thứ tự tăng dần là:

x_{1} = - \sqrt{t_{2}}

;

x_{2} = - \sqrt{t_{1}}

;

x_{3} = \sqrt{t_{1}}

;

x_{4} = \sqrt{t_{2}}

.
Do tính đối xứng của đồ thị

(C_{m})

nên có

\int_{0}^{x_{3}} (x^{4} - 6 x^{2} + m) d x

= \int_{x_{3}}^{x_{4}} (- x^{4} + 6 x^{2} - m) d x

\Rightarrow \frac{x_{4}^{5}}{5} - 2 x_{4}^{3} + m x_{4} = 0

\Leftrightarrow x_{^{4}}^{5} - 10 x_{^{4}}^{3} + 5 m x_{4} = 0

.
Từ đó có

x_{4}

là nghiệm của hệ phương trình:

\Leftrightarrow \{\begin{cases} x_{4}^{4} - 6 x_{4}^{2} + m = 0 \\ x_{4}^{4} - 10 x_{4}^{2} + 5 m = 0 \end{cases} \begin{matrix} (3) \\ (4) \end{matrix}

Lấy

(3) - (4)

\Rightarrow x_{4}^{2} = m

, thay

x_{4}^{2} = m

vào

(3)

có:

m^{2} - 5 m = 0

\Rightarrow m = 0 \lor m = 5

.
Đối chiếu điều kiện

(*)

ta có

m = 5

\Rightarrow a = 5

và

b = 1

. Vậy

S = 6

Vậy đáp án đúng là B.

Câu hỏi thuộc đề thi sau. Bạn có muốn thi thử?

Làm bài

Câu hỏi Toán học