Lời giải:.png)
Xét tam giác SAD vuông tại A có \(SA = a\sqrt 3 ,AD = 3a \Rightarrow SDA = {30^0} \Rightarrow MAI = {30^0}.\)
Lại có tam giác SAI vuông tại A có \(SA = a\sqrt 3 ,AI = a \Rightarrow SIA = {60^0}\) nên tam giác AHI có \(H=90^0\) hay \(AH \bot SI.\)
Mà \(AH \bot IC\) do \(IC//BA \bot (SAD)\) nên \(AH \bot (SIC) \Rightarrow AH \bot SC.\)
Ngoài ra, \(AE \bot SB,AE \bot BC\left( {BC \bot (SAB)} \right) \Rightarrow AE \bot (SBC) \Rightarrow AE \bot SC.\)
Mà \(AE \bot SC\) nên \(SC \bot (AEFH)\) và AEFH là tứ giác có \(E = H = {90^0}\) nên nội tiếp đường tròn tâm K là trung điểm AF đường kính AF .
Gọi O là trung điểm AC thì OK // SC mà \(SC \bot (AEFH)\) nên \(OK \bot (AEFH)\) hay O chính là đỉnh hình nón và đường tròn đáy là đường tròn đường kính AF .
Ta tính AF, OK.
Xét tam giác SAC vuông tại A đường cao AF nên \(AF = \frac{{SA.AC}}{{SC}} = \frac{{SA.AC}}{{\sqrt {S{A^2} + A{C^2}} }} = \frac{{a\sqrt 6 }}{{\sqrt 5 }}; OK = \frac{1}{2}CF = \frac{1}{2}.\frac{{C{A^2}}}{{CS}} = \frac{a}{{\sqrt 5 }}.\)
Vậy thể tích \(V = \frac{1}{2}\pi {r^2}h = \frac{1}{3}\pi .\frac{a}{{\sqrt 5 }}.{\left( {\frac{1}{2}.\frac{{a\sqrt 6 }}{{\sqrt 5 }}} \right)^2} = \frac{{\pi {a^3}}}{{10\sqrt 5 }}.\)
