Cho hình lăng trụ $A B C . A^{'} B^{'} C^{'}$ có đáy $A B C$ là tam giác đều cạnh $a$ , hình chiếu vuông góc của $A^{'}$ lên mp $(A B C)$ trùng với trọng tâm của tam giác $A B C$ . Một mặt phẳng $(P)$ chứa $B C$ và vuông góc với $A A^{'}$ cắt hình lăng trụ $A B C . A^{'} B^{'} C^{'}$ theo một thiết diện có diện tích bằng $\frac{a^{2} \sqrt{3}}{8}$ . Thể tích khối lăng trụ $A B C . A^{'} B^{'} C^{'}$ bằng

\frac{a^{3} \sqrt{3}}{4}

\frac{2 a^{3} \sqrt{3}}{3}

\frac{a^{3} \sqrt{3}}{10}

\frac{a^{3} \sqrt{3}}{12}

Đáp án và lời giải

Đáp án:D

Lời giải:Lời giải
Chọn D

Gọi

G

là trọng tâm tam giác

A B C

;

M

là trung điểm của

B C

.
Theo giả thiết, ta có:

\{\begin{cases} B C ⊥ A^{'} G (A^{'} G ⊥ (A B C)) \\ B C ⊥ A M \end{cases} \Rightarrow B C ⊥ (A A^{'} G) \Rightarrow B C ⊥ A A^{'}

.
Gọi

H

là hình chiếu của

M

lên

A A^{'}

\Rightarrow A A^{'} ⊥ (B C H)

.
Khi đó mặt phẳng

(P)

chứa

B C

và vuông góc với

A A^{'}

chính là mặt phẳng

(B C H)

, cắt hình lăng trụ

A B C . A^{'} B^{'} C^{'}

theo thiết diện là tam giác

H B C

\Rightarrow S_{Δ H B C} = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{8}

\Leftrightarrow \frac{1}{2} M H . B C = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{8}

\Leftrightarrow M H = \frac{a \sqrt{3}}{4}

.
Gọi

K

là hình chiếu của

G

lên

A A^{'}

\Rightarrow

và

G K = \frac{2}{3} M H = \frac{a \sqrt{3}}{6}

.
Ta lại có:

\frac{1}{G K^{2}} = \frac{1}{A^{'} G^{2}} + \frac{1}{A G^{2}}

\Rightarrow A^{'} G = \frac{A G . G K}{\sqrt{A G^{2} - G K^{2}}} = \frac{\frac{a \sqrt{3}}{3} . \frac{a \sqrt{3}}{6}}{\sqrt{\frac{a^{2}}{3} - \frac{a^{2}}{12}}} = \frac{a}{3}

\Rightarrow V_{A B C . A^{'} B^{'} C^{'}} = A^{'} G . S_{Δ A B C} = \frac{a}{3} . \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4} = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{12}

Câu hỏi thuộc đề thi sau. Bạn có muốn thi thử?

Làm bài

Câu hỏi Toán học