Cho hình nón đỉnh $S$ có đường cao $S O = a$ . Một mặt phẳng đi qua đỉnh của hình nón và cắt hình nón theo thiết diện là tam giác vuông $S A B$ . Biết rằng khoảng cách từ $O$ đến mặt phẳng $(S A B)$ bằng $\frac{a \sqrt{2}}{2}$ . Diện tích xung quanh của hình nón đã cho bằng

2 \sqrt{3} π a^{2}

\sqrt{3} π a^{2}

4 \sqrt{3} π a^{2}

\sqrt{6} π a^{2}

Đáp án và lời giải

Đáp án:A

Lời giải:Lời giải
Chọn A
$I:\TAI LIEU\GEOGEBRA\HINH VE GEOGEBRA\NON TRU CAU\Mat phang cat hinh non 02.png$
Gọi

H, K

lần lượt là hình chiếu của

O

lên

A B

và

S H

.
Ta có:

A B ⊥ (S O H) \Rightarrow A B ⊥ O K

. Mà

O K ⊥ S H

nên

O K ⊥ (S A B)

\Rightarrow O K = d (O, (S A B)) = \frac{a \sqrt{2}}{2}

.
Trong tam giác vuông

S O H

, ta có:

\frac{1}{O K^{2}} = \frac{1}{O S^{2}} + \frac{1}{O H^{2}} \Leftrightarrow \frac{1}{{(\frac{a \sqrt{2}}{2})}^{2}} = \frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{O H^{2}}

\Rightarrow \frac{1}{O H^{2}} = \frac{2}{a^{2}} - \frac{1}{a^{2}} = \frac{1}{a^{2}} \Rightarrow O H = a

.
Khi đó:

S H = \sqrt{S O^{2} + O H^{2}} = \sqrt{a^{2} + a^{2}} = a \sqrt{2}

.
Vì tam giác

S A B

vuông cân tại

S

nên có

S H = \frac{A B}{2} \Rightarrow A B = 2 S H = 2 \sqrt{2} a

.
Khi đó độ dài đường sinh là

l = S A = S B = 2 a

.
Bán kính của đường tròn đáy là

r = O A = \sqrt{O H^{2} + H A^{2}} = \sqrt{a^{2} + {(\frac{2 \sqrt{2} a}{2})}^{2}} = a \sqrt{3}

.
Vậy diện tích xung quanh của hình nón là

S_{x q} = π . r . l = π . a \sqrt{3} . 2 a = 2 \sqrt{3} π a^{2}

Bạn có muốn?

Xem thêm

Câu hỏi