Cho tứ diện đều $A B C D$ có cạnh bằng $a$ . Gọi $M, N$ lần lượt là trọng tâm các tam giác
$A B D, A B C$ và $E$ là điểm đối xứng với $B$ qua $D$ . Mặt $(M N E)$ chia khối tứ diện $A B C D$ thành hai khối đa diện trong đó khối đa diện chứa đỉnh $A$ có thể tích $V$ . Tính $V$ .

V = \frac{9 \sqrt{2} a^{3}}{320}

V = \frac{3 \sqrt{2} a^{3}}{320}

V = \frac{\sqrt{2} a^{3}}{96}

V = \frac{3 \sqrt{2} a^{3}}{80}

Đáp án và lời giải

Đáp án:A

Lời giải:Lời giải
Chọn A

Gọi

H, K

lần lượt là trung điểm của

B D, B C

và

I = E M \cap A B .

Áp dụng định lí Menelaus cho tam giác

A H B

ta được

\frac{A M}{M H} . \frac{H E}{E B} . \frac{B I}{I A} = 1 \Leftrightarrow 2. \frac{3}{4} . \frac{B I}{I A} = 1 \Leftrightarrow \frac{B I}{I A} = \frac{2}{3} \Leftrightarrow A I = \frac{3}{5} A B

\frac{A I}{A B} = \frac{3}{5} \neq \frac{A N}{A K} = \frac{2}{3} \Rightarrow

Hai đường thẳng

I N

và

B C

cắt nhau, gọi giao điểm là

F

.
Gọi

P = E M \cap A D .

Vì

M N // C D

nên áp dụng định lí về giao tuyến của ba mặt phẳng
Ta có

P Q // E F // C D .

Áp dụng định lí Menelaus cho tam giác

A D B

ta được

\frac{A P}{P D} . \frac{D E}{E B} . \frac{B I}{I A} = 1 \Leftrightarrow \frac{A P}{P D} . \frac{1}{2} . \frac{2}{3} = 1 \Leftrightarrow \frac{A P}{P D} = 3.

Có

A B C D

là tứ diện đều cạnh bằng

a \Rightarrow V_{A B C D} = \frac{a^{3} \sqrt{2}}{12}

\frac{V_{A P Q I}}{V_{A B C D}} = \frac{A P}{A D} . \frac{A Q}{A C} . \frac{A I}{A B} = \frac{3}{4} . \frac{3}{4} . \frac{3}{5} = \frac{27}{80} \Rightarrow V_{A P Q I} = \frac{27}{80} V_{A B C D} = \frac{27}{80} . \frac{a^{3} \sqrt{2}}{12} .

Vậy

V_{A P Q I} = \frac{9 \sqrt{2} a^{3}}{320}

Câu hỏi thuộc đề thi sau. Bạn có muốn thi thử?

Làm bài

Câu hỏi Toán học