[HH12. C2. 1. D02. c] Cho hình nón đỉnh $S$ có đường tròn đáy tâm $O$ bán kính $R = a \sqrt{2}$ . Trên đường tròn đáy lấy hai điểm $A$ và $B$ sao cho tam giác $O A B$ đều. Biết diện tích tam giác $S A B$ bằng $2 \sqrt{2} a$ . Thể tích hình nón đã cho bằng:

\sqrt{58} π a^{3}

\sqrt{29} a^{3} π

\frac{\sqrt{29} a^{3} π}{3}

\frac{\sqrt{58} a^{3} π}{3}

Đáp án và lời giải

Đáp án:D

Lời giải:Lời giải
Chọn D

Theo đề có

R = O A = a \sqrt{2}

Δ O A B

đều nên

S_{Δ O A B} = \frac{{(a \sqrt{2})}^{2} . \sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{2} a^{2}

và

O I = \frac{a \sqrt{6}}{2}

.
Ta có:

S O ⊥ (O A B)

suy ra

O

là hình chiếu của

S

lên

(O A B)

.
Do đó:

Δ O A B

là hình chiếu

Δ S A B

lên mp

(O A B)

.
Áp dụng công thức:

S_{Δ O A B} = S_{Δ S A B} . \cos φ

(

φ = ((S A B), (O A B))

\Rightarrow \cos φ = \frac{S_{Δ O A B}}{S_{Δ S A B}} = \frac{\sqrt{6}}{8}

.
Mặt khác:

\{\begin{cases} O I ⊥ A B \\ S I ⊥ A B \end{cases} \Rightarrow ((S A B), (O A B)) = \hat{S I O} = φ

.
Xét

Δ S O I

\Rightarrow \cos φ = \frac{O I}{S I} = \frac{\sqrt{6}}{8} \Rightarrow S I = \frac{8 O I}{\sqrt{6}} = 4 a

\Rightarrow S O = \sqrt{S I^{2} - O I^{2}} = \frac{\sqrt{58}}{2}

.
Thể tích khối nón:

V = \frac{1}{3} π R^{2} h = \frac{1}{3} π . {(a \sqrt{2})}^{2} . \frac{\sqrt{58}}{2} = \frac{\sqrt{58} a^{3} π}{3}

(đvtt).

Bạn có muốn?

Xem thêm

Câu hỏi