Câu hỏi Toán học

Người ta thiết kế một thùng chứa hình trụ (như hình vẽ) có thể tích $V$ không đổi. Biết rằng giá của vật liệu làm mặt đáy và nắp của thùng bằng nhau và đắt gấp $3$ lần so với giá vật liệu để làm mặt xung quanh của thùng (chi phí cho mỗi đơn vị diện tích). Gọi chiều cao
của thùng là $h$ và bán kính đáy là $r .$ Tính tỷ số $\frac{h}{r}$ sao cho chi phí vật liệu sản xuất thùng nhỏ nhất.

A.

\frac{h}{r} = 1.

B.

\frac{h}{r} = 2.

C.

\frac{h}{r} = 6.

D.

\frac{h}{r} = 9.

Đáp án và lời giải

Đáp án:C

Lời giải:Lời giải. Ta có

V = π r^{2} h \overset{}{\to} h = \frac{V}{π r^{2}} .

Gọi

t

là giá tiền của một đơn vị diện tích vật liệu để làm mặt xung quanh, suy ra giá tiền của một đơn vị diện tích vật liệu để làm mặt đáy là

3 t .

Diện tích mặt xung quanh

S_{1} = 2 π r . h

\overset{}{\to}

giá tiền mặt xung quanh là

T_{1} = 2 π r h \times t .

Diện tích hai mặt đáy

S_{2} = 2 π r^{2}

\overset{}{\to}

giá tiền hai mặt đáy là

T_{2} = 2 π r^{2} \times 3 t .

Tổng tiền hoàn thành sản phẩm:

T = T_{1} + T_{2} = 2 t (π r h + 3 π r^{2}) = 2 t (\frac{V}{r} + 3 π r^{2})

= 2 t (\frac{V}{2 r} + \frac{V}{2 r} + 3 π r^{2}) \geq 2 t \times 3 \sqrt[3]{\frac{3}{4} π V^{2}} .

Dấu

" = "

xảy ra

\Leftrightarrow \frac{V}{2 r} = 3 π r^{2} \overset{do V = π r^{2} h}{\leftrightarrow} h = 6 r .

Chọn C

Câu hỏi thuộc đề thi sau. Bạn có muốn thi thử?

Bài tập trắc nghiệm 15 phút Khối trụ: Bài toán cực trị về khối trụ. - Toán Học 12 - Đề số 2

Làm bài