Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để hàm số $y = \frac{m \ln x - 2}{\ln x - m - 1}$ nghịch biến trên $(e^{2}; + \infty)$ .

m \leq - 2

hoặc

m = 1

m < - 2

hoặc

m = 1

m < - 2.

m < - 2

hoặc

m > 1

Đáp án và lời giải

Đáp án:C

Lời giải:Lời giải
Tập xác định

D = (0; + \infty) \ \{e^{m + 1}\}

.
Cách 1:

y^{'} = \frac{- m^{2} - m + 2}{x {(\ln x - m - 1)}^{2}}

Vậy yêu cầu bài toán tương đương

\{\begin{cases} - m^{2} - m + 2 < 0 \\ e^{m + 1} \notin (e^{2}; + \infty) \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} [\begin{array}{l} m > 1 \\ m < - 2 \end{array} \\ m + 1 \leq 2 \end{cases} \Leftrightarrow m < - 2

Cách 2: Đặt

t = \ln x

, ta biết rằng hàm số

f (x) = \ln x

đồng biến trên

(e^{2}; + \infty)

.
Xét hàm số

g (t) = \frac{m t - 2}{t - m - 1}

với

t \in (2; + \infty)

, ta có

g^{'} (t) = \frac{- m^{2} - m + 2}{{(t - m - 1)}^{2}}

.
Vậy hàm số ban đầu nghịch biến trên

(e^{2}; + \infty)

\Leftrightarrow

hàm số

g

nghịch biến trên

(2; + \infty)

\Leftrightarrow

\{\begin{cases} g^{'} (t) < 0 \\ m + 1 \notin (2; + \infty) \end{cases}

\Leftrightarrow \{\begin{cases} - m^{2} - m + 2 < 0 \\ m + 1 \leq 2 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} [\begin{array}{l} m > 1 \\ m < - 2 \end{array} \\ m + 1 \leq 2 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} [\begin{array}{l} m > 1 \\ m < - 2 \end{array} \\ m \leq 1 \end{cases}

\Leftrightarrow m < - 2

Câu hỏi thuộc đề thi sau. Bạn có muốn thi thử?

Làm bài

Câu hỏi Toán học