01 Bất đẳng thức 76 trang file word có lời giải chi tiết là tài liệu môn Toán trong chương trình Lớp 12 được cungthi.vn tổng hợp và biên soạn. Tạo nguồn tài liệu giúp các bạn trong việc ôn tập
Những địa chỉ uy tín để bạn mua sách
Nội dung tóm tắt
BẤT ĐẲNG THỨC VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH 2017 – 2018
BẤT ĐẲNG THỨC VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH 2017 – 2018
BẤT ĐẲNG THỨC
Mục lục
TOC \o "1-3" \h \z \u A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT. 1
B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI. 3
DẠNG TOÁN 1: SỬ DỤNG ĐỊNH NGHĨA VÀ TÍCH CHẤT CƠ BẢN. 3
1. Phương pháp giải. 3
2. Các ví dụ minh họa. 3
Loại 1: Biến đổi tương đương về bất đẳng thức đúng. 3
Loại 2: Xuất phát từ một BĐT đúng ta biến đổi đến BĐT cần chứng minh 7
3. Bài tập luyện tập 9
DẠNG TOÁN 2: SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY(côsi) ĐỂ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC VÀ TÌM GIÁ TRI LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT. 13
Loại 1: Vận dụng trực tiếp bất đẳng thức côsi 14
Loại 2: Kĩ thuật tách, thêm bớt, ghép cặp. 18
Loại 3: Kĩ thuật tham số hóa 25
Loại 4: Kĩ thuật côsi ngược dấu. 28
3. Bài tập luyện tập. 31
DẠNG 3: ĐẶT ẨN PHỤ TRONG BẤT ĐẲNG THỨC. 48
DẠNG 4: SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC PHỤ. 59
C. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM TỔNG HỢP 70
TỔNG HỢP LẦN 1 70
TỔNG HỢP LẦN 2 76
BẤT ĐẲNG THỨC
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT.
1. Định nghĩa :
Cho là hai số thực. Các mệnh đề được gọi là những bất đẳng thức.
Chứng minh bất đảng thức là chứng minh bất đẳng thức đó đúng(mệnh đề đúng)
Với là mệnh đề chứ biến thì là mệnh đề chứa biến. Chứng minh bất đẳng thức (với điều kiện nào đó) nghĩa là chứng minh mệnh đề chứa biến đúng với tất cả các giá trị của biến(thỏa mãn điều kiện đó). Khi nói ta có bất đẳng thức mà không nêu điều kiện đối với các biến thì ta hiểu rằng bất đẳng thức đó xảy ra với mọi giá trị của biến là số thực.
2. Tính chất :
* và
*
* và
* Nếu thì
Nếu thì
*
*
*
3. Bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối.
* với mọi số thực .
* ( Với )
* ( Với )
4. Bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân (Bất đẳng thức Cauchy)
a) Đối với hai số không âm
Cho , ta có . Dấu '=' xảy ra khi và chỉ khi
Hệ quả :
* Hai số dương có tổng không đổi thì tích lớn nhất khi hai số đó bằng nhau
* Hai số dương có tích không đổi thì tổng nhỏ nhất khi hai số đó bằng nhau
b) Đối với ba số không âm
Cho , ta có . Dấu '=' xảy ra khi và chỉ khi
B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI.
DẠNG TOÁN 1: SỬ DỤNG ĐỊNH NGHĨA VÀ TÍCH CHẤT CƠ BẢN.
1. Phương pháp giải.
Để chứng minh bất đẳng thức(BĐT) ta có thể sử dụng các cách sau:
Ta đi chứng minh . Để chứng minh nó ta thường sử dụng các hằng đẳng thức để phân tích thành tổng hoặc tích của những biểu thức không âm.
Xuất phát từ BĐT đúng, biến đổi tương đương về BĐT cần chứng minh.
2. Các ví dụ minh họa.
Loại 1: Biến đổi tương đương về bất đẳng thức đúng.
Ví dụ 1 : Cho hai số thực . Chứng minh rằng các bất đẳng thức sau
a) b)
c) d)
Lời giải:
a) Ta có . Đẳng thức.
b) Bất đẳng thức tương đương với
(đúng) ĐPCM.
Đẳng thức xảy ra
c) BĐT tương đương
(đúng) ĐPCM.
Đẳng thức xảy ra
d) BĐT tương đương
(đúng) ĐPCM.
Đẳng thức xảy ra
Nhận xét: Các BĐT trên được vận dụng nhiều, và được xem như là "bổ đề" trong chứng minh các bất đẳng thức khác.
Ví dụ 2 : Cho năm số thực . Chứng minh rằng
.
Lời giải:
Ta có :
đpcm.
Đẳng thức xảy ra .
Ví dụ 3 : Cho . Chứng minh rằng : .
Lời giải:
Ta có
(Do .
Nhận xét : Nếu thì BĐT có chiều ngược lại : .
Ví dụ 4: Cho số thực . Chứng minh rằng
a) b) c)
Lời giải:
a) Bất đẳng thức tương đương với
(đúng với mọi số thực )
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi .
b) Bất đẳng thức tương đương với
Ta có
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi (không xảy ra)
Suy ra ĐPCM.
c) Bất đẳng thức tương đương với
+ Với : Ta có
Vì nên do đó .
+ Với : Ta có
Vì nên do đó .
Vậy ta có .
Ví dụ 5: Cho là các số thực. Chứng minh rằng
a)
b)
c)
Lời giải:
a) BĐT tương đương với
(đúng)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi .
b) BĐT tương đương với
(đúng)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi .
c) BĐT tương đương với
(đúng)
Đẳng thức không xảy ra.
Ví dụ 6: Cho hai số thực thỏa mãn . Chứng minh rằng;
a)
b)
Lời giải:
a) Bất đẳng thức tương đương
(đúng với ) ĐPCM.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi .
b) Bất đẳng thức tương đương
Theo câu a) ta có , do đó ta chỉ cần chứng minh
(*), Thật vậy,
BĐT (*)
(đúng với )
Đẳng thức xảy không xảy ra.
Loại 2: Xuất phát từ một BĐT đúng ta biến đổi đến BĐT cần chứng minh
Đối với loại này thường cho lời giải không được tự nhiên và ta thường sử dụng khi các biến có những ràng buộc đặc biệt
* Chú ý hai mệnh đề sau thường dùng
Ví dụ 7 : Cho a,b,c là độ dài ba cạnh tam giác. Chứng minh rằng :.
Lời giải:
Vì a,b,c là độ dài ba cạnh tam giác nên ta có :
. Tương tự
cộng ba BĐT này lại với nhau ta có đpcm
Nhận xét : * Ở trong bài toán trên ta đã xuất phát từ BĐT đúng đó là tính chất về độ dài ba cạnh của tam giác. Sau đó vì cần xuất hiện bình phương nên ta nhân hai vế của BĐT với c.
Ngoài ra nếu xuất phát từ BĐT rồi bình phương hai vế ta cũng có được kết quả.
Ví dụ 8 : Cho . Chứng minh :
Lời giải:
Cách 1: Vì
(*)
Ta có : nên từ (*) ta suy ra
đpcm.
Cách 2: BĐT cần chứng minh tương đương với
Mà do đó
Ta chỉ cần chứng minh
Thật vậy: vì nên theo nhận xét ta có
