Bất đẳng thức là tài liệu môn Toán trong chương trình Lớp 12 được cungthi.vn tổng hợp và biên soạn. Tạo nguồn tài liệu giúp các bạn trong việc ôn tập
Những địa chỉ uy tín để bạn mua sách
Nội dung tóm tắt
CÁC BẤT ĐẲNG THỨC CÓ TÍNH THUẦN NHẤT
Bài toán. Tìm cực trị của biểu thức với , . Hàm số F thỏa mãn điều kiện (1) gọi là hàm thuần nhất ba biến x, y, z.
Sau đây là một số ví dụ.
Bài 1. Cho thỏa mãn . Chứng minh rằng
.
Lời giải.
Nếu từ giả thiết . Bất đẳng thức luôn đúng.
Nếu . Đặt . Bài toán đã cho trở thành: “Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện . Chứng minh rằng ”
Ta có .
Lại có , . Từ đó:
. Dấu bằng xảy ra khi a = b = c.
Bài 2. (KA 2009) Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn . Chứng minh rằng .
Lời giải.
Cách 1. Đặt , a, b dương. Khi đó bài toán trở thành: “Cho các số dương a, b thỏa mãn . Chứng minh rằng ”. Đây chính là bài toán 1.
Cách 2. Đặt . Bài toán đã cho trở thành: “Cho các số dương a, b thỏa mãn . Chứng minh rằng (2) ”. Ta thấy biểu thức điều kiện và bất đẳng thức cần chứng minh đều đối xứng với a và b. Đặt .
luôn đúng .
Bài 3. Cho các số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng
(1)
Lời giải. Đặt
(1). Đặt .
Đặt (coi là hàm bậc nhất ẩn P)
; . Suy ra bất đẳng thức luôn đúng.
Bài 4. (KA 2013) Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn điều kiện . Tìm GTNN của biểu thức
.
Lời giải. Vì các số a, b, c dương nên ta có . Trong đó .
Lại có:
Khi đó bài toán đã cho trở thành
“Cho các số thực dương x, y thỏa mãn . Tìm GTNN của biểu thức
.”
Theo bất đẳng thức Cauchy ta có .
Vậy
Đặt . Suy ra
Xét hàm số .
Bằng phương pháp khảo sát hàm số ta có .
Vậy min P = . Dấu bằng xảy ra khi a = b = c.
Đôi lời bình luận. Đây là một bài toán khó dành cho học sinh giỏi. Trước tiên nhận thấy vai trò của a và b trong biểu thức điều kiện cũng như trong biểu thức P như nhau nên ta tìm cách “khử” bớt biến c. Kỹ thuật này trong toán chứng minh bất đẳng thức được gọi là “kĩ thuật giảm biến”. Một căn cứ để có thể tiến hành được việc giảm biến là bậc của hai về trong biểu thức điều kiện bằng nhau và bậc của tử và maauxa trong các phân thức của biểu thức P bằng nhau. Do đó ta nghĩ đến việc chia cả hai vế hoặc chia cả tử và mẫu cho một lũy thừa của c mà bậc của c hoặc bằng với bậc của hai vế hoặc bằng bậc của tử và mẫu. Khi đã giảm được biến c, bài toán trở thành bài toán của hai biến x, y mà biểu thức điều kiện và biểu thức P đều là những biểu thức đối xứng đối với x, y.
Đến đây, ta thấy biểu thức P thu được khá cồng kề và có bậc cao. Dự đoán dấu bằng xảy ra khi . Khi đó . Vì vậy áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số dương ta thu được một biểu thức cần đánh giá gọn hơn và quan trọng là dấu bằng xảy ra khi x = y = 1. Kỹ thuật này trong toán chứng minh bất đẳng thức được gọi là “kĩ thuật chọn điểm rơi”.
Sau đây là các bài tập tương tự
Bài 1. Cho a, b, c dương thỏa mãn . Chứng minh rằng .
Bài 2. Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn điều kiện . Chứng minh rằng: .
Bài 3. Cho a, b, c dương, . Tìm GTNN của biểu thức
.
Bài 4. Cho a, b, c dương, . Tìm GTNN của biểu thức
Bài 5. (KA 2011) Cho x, y, z là ba số thực thuộc đoạn [1; 4] và . Tìm GTNN của biểu thức .
BÀI TOÁN TÌM CỰC TRỊ CỦA CÁC BIỂU THỨC
ĐA BIẾN ĐỐI XỨNG
I. Bài toán tìm cực trị của biểu thức đối xứng hai biến
Ta luôn biết rằng mọi biểu thức đối xứng hai biến x, y đều biểu diễn được thành biểu thức chứa S = x + y và P = xy trong đó .
Trước hết chúng ta xét một bài toán cơ bản sau:
Bài 1. Cho các số x, y không âm thỏa mãn . Tìm GTLN và GTNN của biểu thức: .
Lời giải.
Đặt t = xy thì . Khi đó
Bài toán quy về việc tìm GTLN, GTNN của biểu thức P trên .
Từ đó ta tìm được hoặc ; .
Bài tập tương tự.
Bài 1.1. Cho hai số x, y không âm thỏa mãn . Tìm GTLN, GTNN của biểu thức .
Bài 1.2. (2009/D) Cho các số thực x, y không âm thỏa mãn . Tìm GTLN, GTNN của biểu thức .
Bài 1.3. Cho các số x, y dương thỏa mãn . Tìm GTLN, GTNN của biểu thức .
Bài 2. Cho x, y là các số thực thỏa mãn điều kiện: . Tìm GTLN và GTNN của biểu thức: .
Lời giải.
Đặt .
Ta có . Vậy . (*)
Ta biến đổi .
Bài toán quy về tìm GTLN, GTNN của trên .
Từ đó ta có ; hoặc .
Lời bình. Ở bài toán 2, học sinh hay sai điều kiện (*) của v nên cho những đáp số sai. Một điều cần chú ý với những bài toán phải đặt biến mới đó là chúng ta phải tìm được chính xác điều kiện của biến mới.
Bài tập tương tự.
Bài 2.1. Cho các số x, y dương thỏa mãn . Tìm GTLN, GTNN của biểu thức .
Bài 2.2. Cho các số thực x, y thỏa mãn . Tìm GTLN, GTNN của biểu thức .
Bài 2.3. Cho các số thực x, y thỏa mãn . Tìm GTLN, GTNN của .
Gợi ý bài toán 2.3. Đây là bài toán đối xứng với hai ẩn là x và 2y.
Bài 3. Cho x, y là hai số thực thỏa mãn . Tìm GTLN, GTNN của biểu thức .
Lời giải.
Bài toán này nếu chúng ta đưa về biểu thức chứa xy thì biểu thức sau khi đạt được sẽ có chứa căn, cồng kềnh phức tạp khó xử lý. Bài toán này ta sẽ đưa về khảo sát cực trị của hàm số 1 biến x + y.
Đặt .
Ta có .
= .
Bài toán quy về tìm GTLN, GTNN của trên .
Từ đó tìm được .
Bài tập tương tự.
Bài 3.1. Cho hai số thực x, y thỏa mãn . Tìm GTLN, GTNN của biểu thức: .
Bài 3.2. Cho các số x, y dương thỏa mãn . Tìm GTLN của biểu thức .
Lời giải. Giả thiết . Biến đổi
.
Dấu bằng khi x = y = 1.
Bài 4. (2009/B) Cho các số x, y thỏa mãn . Tìm GTNN của biểu thức .
Lời giải.
Ta có .
.
Dấ
