Chương 2 KHỐI TRÒN XOAY Mức độ 4 Phần 1 là tài liệu môn Toán trong chương trình Lớp 12 được cungthi.vn tổng hợp và biên soạn. Tạo nguồn tài liệu giúp các bạn trong việc ôn tập
Những địa chỉ uy tín để bạn mua sách
Nội dung tóm tắt
Câu 1: (THPT Chuyên Thái Bình-lần 1-năm 2017-2018) Một hình trụ có bán kính đáy và khoảng cách giữa hai đáy . Cắt khối trụ bởi một mặt phẳng song song với trục và cách trục . Diện tích của thiết diện được tạo thành là:
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn A
Gọi là tâm của hai đáy của hình trụ và là mặt phẳng song song với trục và cách trục một khoảng .
Mp cắt hai hình tròn đáy theo hai dây cung lần lượt là và cắt mặt xung quanh theo hai đường sinh là . Khi đó là hình chữ nhật.
Gọi là trung điểm của . Ta có
.
Khi đó: ; .
Diện tích hình chữ nhật là: .
Câu 2: (THPT Chuyên Thái Bình-lần 1-năm 2017-2018) Một tấm kẽm hình vuông có cạnh bằng . Người ta gập tấm kẽm theo hai cạnh và cho đến khi và trùng nhau như hình vẽ bên để được một hình lăng trụ khuyết hai đáy.
Giá trị của để thể tích khối lăng trụ lớn nhất là:
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn D
Đường cao lăng trụ là không đổi. Để thể tích lăng trụ lớn nhất chỉ cần diện tích đáy lớn nhất.
Gọi là trung điểm cạnh trong tam giác .
Khi đó
Có .
Vậy ta cần tìm để lớn nhất.
.
Bảng biến thiên:
Vậy thể tích lăng trụ lớn nhất khi .
Cách khác (trắc nghiệm): Học sinh có thể thay giá trị của từng đáp án vào hàm số để có kết quả.
Câu 3: (TT Diệu Hiền-Cần Thơ-tháng 11-năm 2017-2018) Khối cầu nội tiếp hình tứ diện đều có cạnh bằng thì thể tích khối cầu là:
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn A
Gọi là trọng tâm tam giác và là tâm mặt cầu nội tiếp tứ diện.
Khi đó bán kính mặt cầu nội tiếp tứ diện là:
.
Ta có: .
Mà (vì ).
Mặt khác .
; .
.
.
Vậy thể tích khối cầu nội tiếp tứ diện là: .
Câu 4: (THPT Chuyên Vĩnh Phúc-lần 2-năm 2017-2018) Cho đường tròn tâm có đường kính nằm trong mặt phẳng . Gọi là điểm đối xứng với qua Lấy điểm sao cho và Tính bán kính mặt cầu đi qua đường tròn đã cho và điểm
A. B. C. D.
Lời giải
Chọn A
Nhận xét: .
Mặt khác: chứa đường kính của đường tròn tâm nên cắt mặt cầu theo giao tuyến là đường tròn lớn đi qua ba điểm , , .
Do đó tâm của mặt cầu cũng chính là tâm đường tròn ngoại tiếp .
Cách 1: Trong mặt phẳng , chọn hệ trục sao cho ; ; ; .
Ta có tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác có tọa độ thỏa mãn hệ phương trình
.
Khi đó mặt cầu qua ba điểm , , có bán kính .
Cách 2: Xét có .
.
Cách 3: Gọi mặt cầu tâm qua đường tròn tâm và điểm . Khi đó ta có tứ giác là hình thang vuông tại và .
Ta có . Gọi là bán kính mặt cầu cần tìm.
Kẻ , đặt
Vì nên .
Vậy .
Câu 5: --------------------------------------- HẾT ---------------------------------------(THPT Nguyễn Khuyến-TPHCM-năm 2017-2018) Cho hình trụ đứng có hai đáy là hai đường tròn tâm và tâm , bán kính bằng , chiều cao hình trụ bằng . Mặt phẳng đi qua trung điểm và tạo với một góc , cắt đường tròn đáy tâm theo dây cung . Độ dài đoạn là:
A. . B. . C. . D. .
Lời giải:
Chọn D
Gọi , lần lượt là trung điểm của và .
Ta có .
Tam giác vuông tại có .
Câu 6: (THPT Nguyễn Khuyến-TPHCM-năm 2017-2018) Cho mặt cầu đường kính . Mặt phẳng vuông góc tại ( thuộc đoạn ), cắt mặt cầu theo đường tròn . Tính theo để hình nón đỉnh , đáy là hình tròn có thể tích lớn nhất?
A. . B. . C. . D. .
Lời giải:
Chọn C
[phương pháp tự luận]
Gọi là trung điểm , là điểm bất kì trên đường tròn .
Ta có .
Thể tích hình nón: .
Đặt . ( là tham số). Tập xác định .
; .
; ; . Vậy hàm số đạt giá trị lớn nhất khi .
Hay thể tích hình nón lớn nhất đạt khi .
[phương pháp trắc nghiệm]
Thực hiện tương tự phương pháp tự luận, tính được thể tích hình nón:
.
Cho , nhập thể tích: . CALC bốn đáp án với , được đáp án C cho giá trị lớn nhất.
Câu 7: (THPT Nguyễn Khuyến-TPHCM-năm 2017-2018) Trong tất cả hình chóp tam giác đều nội tiếp mặt cầu bán kính bằng , thể tích lớn nhất của khối chóp là:
A. . B. . C. . D. .
Lời giải:
Chọn B
Gọi là hình chóp tam giác đều nội tiếp mặt cầu tâm . Gọi là hình chiếu của trên . Giả sử thể tích hình chóp đạt lớn nhất khi nằm giữa và , khi đó, lấy đối xứng , , qua mặt phẳng vuông góc với tại ta được hình chóp nội tiếp mặt cầu và có thể tích lớn hơn hình chóp .
Đặt , .
Có . Ta được .
Thể tích hình chóp .
Câu 8: (THPT Chuyên Hùng Vương-Bình Phước-lần 2-năm 2017-2018) Cho mặt trụ và một điểm cố định nằm bên ngoài . Một đường thẳng thay đổi luôn đi qua và luôn cắt tại hai điểm , (, có thể trùng nhau). Gọi là trung điểm của đoạn thẳng . Tập hợp các điểm là
A. Một phần mặt phẳng đi qua . B. Một phần mặt cầu đi qua .
C. Một phần mặt nón có đỉnh là . D. Một phần mặt trụ.
Lời giải
Chọn D
Gọi mặt phẳng chứa và vuông góc với trục , cắt tại , cắt trụ theo giao tuyến là một đường tròn tâm song song với đáy. Đường thẳng thay đổi đi qua và luôn cắt tại hai điểm , (, có thể trùng nhau), là trung điểm của đoạn thẳng . Gọi , , lần lượt là hình chiếu của , , xuống mặt phẳng . Ta có , đều thuộc đường tròn ; , . Vì là trung điểm của đoạn thẳng nên cũng là trung điểm của khi đó . Mặt khác thẳng hàng (cùng nằm trên giao tuyến của mặt phẳng chứa , vuông góc với mặt phẳng ) nên tam giác luôn vuông tại
