Chương 4 SỐ PHỨC Mức độ 4 Phần 3 là tài liệu môn Toán trong chương trình Lớp 12 được cungthi.vn tổng hợp và biên soạn. Tạo nguồn tài liệu giúp các bạn trong việc ôn tập
Những địa chỉ uy tín để bạn mua sách
Nội dung tóm tắt
Câu 1: (THPT Phan Châu Trinh-DakLak-lần 2 năm 2017-2018) Cho số phức thoả mãn . Gọi và là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức . Tính môđun của số phức
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn B
Đặt . Ta có .
Mặt khác .
Đặt ,
Suy ra .
Ta có .
Do đó , .
Câu 2: (THPT Can Lộc-Hà Tĩnh-lần 1 năm 2017-2018) Cho hai số phức , thỏa mãn , và . Tính giá trị của biểu thức .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn D
Ta có:
.
Tương tự:
.
.
Giải hệ phương trình gồm , , ta có: .
Câu 3: (THPT Đặng Thúc Hứa-Nghệ An-lần 1 năm 2017-2018) Cho số phức thỏa mãn . Tìm giá trị lớn nhất của ?
A. . B. . C. . D. .
Chọn C
Lời giải
Gọi , . Ta thấy là trung điểm của
.
Ta lại có:
Mà .
Dấu xảy ra khi , với ; .
Câu 4: (THPT Chuyên Phan Bội Châu-lần 2 năm 2017-2018) Với hai số phức và thỏa mãn và , tìm giá trị lớn nhất của .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn B
Cách 1: Ta có: .
Suy ra: .
Ta có: .
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi (hệ này có nghiệm)
Vậy .
Cách 2: Gọi , .
Theo giả thiết ta có
Ta có .
Áp dụng bất đẳng thức ta có:
Vậy giá trị lớn nhất của bằng . Dấu bằng sảy ra khi .
Câu 5: (PTNK-ĐHQG TP HCM-lần 1 năm 2017-2018) Cho số phức thõa mãn . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức .
A. . B. . C. . B. .
Lời giải
Chọn B
Cách 1: Gọi là điểm biểu diễn cho số phức . Gọi , , lần lượt là điểm biểu diễn cho các số phức ; ; . Khi đó, ta có:
nghĩa là thuộc đường tròn có tâm , và .
Ta có: , với là trung điểm của . Do đó có giá trị lớn nhất khi và chỉ khi có giá trị lớn nhất.
Ta có : nên .
Vậy .
Cách 2: Giả sử (). là điểm biểu diễn của .
Suy ra có tâm và bán kính .
.
Ta có: và .
Suy ra .
Ta có nên là phương trình của đường tròn có tâm , bán kính ; .
Để tồn tại , thì và có điểm chung .
Suy ra : .
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi và tiếp xúc trong.
Vậy .
Câu 6: (THPT Chuyên ĐH Vinh – lần 1 - năm 2017 – 2018) Giả sử , là hai trong số các số phức thỏa mãn và . Giá trị lớn nhất của bằng
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn A
Ta có . Gọi có điểm biểu diễn là .
Gọi , lần lượt là các điểm biểu diễn của ,.
Vì nên là trung điểm của .
Ta có .
.
Vậy giá trị lớn nhất của bằng .
Câu 7: ----------HẾT----------(THPT Quảng Xương I – Thanh Hóa – năm 2017 – 2018) Cho số phức thỏa mãn . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn B
Gọi với , gọi là điểm trong mặt phẳng tọa độ biểu diễn số phức . Ta có:.
Như vậy, tập hợp điểm biểu diễn số phức là đường tròn tâm và bán kính .
Gọi , lần lượt là các điểm biểu diễn các số phức , . Dễ thấy thuộc đường tròn . Vì nên là đường kính của đường tròn .
Từ đó:
.
Dấu xảy ra khi .
Vậy .
Câu 8: . (Chuyên ĐB Sông Hồng –Lần 1 năm 2017 – 2018) Cho hai số phức thoả mãn . Gọi , là các điểm biểu diễn cho và . Biết . Tính .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn C
Ta có
Gọi là điểm biểu diễn của số phức .
Khi đó ta có .
Do nên áp dụng định lí cosin ta tính được . Khi đó có đồng thời là đường cao và đường trung tuyến, suy ra cân tại .
Áp dụng định lí đường trung tuyến cho ta có: .
Vậy .
Câu 9: Cho hai số phức , thỏa mãn và . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức .
A. . B. . C. . D. .
Câu 10: (THPT Chuyên Ngữ – Hà Nội - Lần 1 năm 2017 – 2018) Cho hai số phức , thỏa mãn và . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn A
Ta có ; .
Gọi là điểm biểu diễn số phức , là điểm biểu diễn số phức . Từ và suy ra điểm nằm trên đường tròn tâm và bán kính ; điểm nằm trên đường tròn tâm và bán kính .
Ta có .
Vậy .
Câu 11: (THPT Chuyên Vĩnh Phúc – Vĩnh Phúc - Lần 4 năm 2017 – 2018)Cho hàm số . Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số để với mọi bộ ba số phân biệt , , thì , , là độ dài ba cạnh của một tam giác.
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn C
Ta có , , là ba cạnh của một tam giác nên
với mọi , ,
với mọi , ,
Do đó với mọi , ,
Ta cần tìm và với mọi , ,
Xét hàm với
Ta có , . Do nên .
Ta có ,,.
, .
Suy ra .
Đẳng thức xảy ra khi , hoặc , hoặc , .
Do đó . Mà và nguyên nên .
Vậy có giá trị thỏa mãn.
Câu 12: (THPT Kim Liên – Hà Nội - Lần 2 năm 2017 – 2018)Xét các số phức () thỏa mãn . Tính khi đạt giá trị nhỏ nhất.
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn D
Cách 1:
Đặt với . Theo bài ra ta có .
Ta có
.
.
Vậy GTNN của là bằng đạt được khi .
Cách 2:
với .
với , .
Ta có ; . Chọn thì . Do đó ta có
và đồng dạng với nhau .
Từ đó .
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi , , thẳng hàng và thuộc đoạn thẳng .
Từ đó tìm được .
Cách 3:
Gọi là điểm biểu diễn số phức Đặt , và .
Ta xét bài toán: Tìm điểm M thuộc đường tròn có tâm , bán kính sao cho biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất.
Trước tiên, ta tìm điểm sao cho .
Ta có
.
luôn đúng .
.
Thử trực tiếp ta thấy thỏa mãn .
Vì nên nằm ngoài .
Vì nên nằm trong .
Ta có .
Dấu bằng trong bất đẳng thức trên xảy ra khi và chỉ khi thuộc đoạn thẳng .
Do đó nhỏ nhất khi và chỉ khi M là giao điểm của và đoạn thẳng
Phương trình đường thẳng .
Phương trình đường tròn .
Tọa độ điểm là nghiệm của hệ hoặc .
Thử lại thấy thuộc đoạn .
Vậy , .
