Đề HSG TP dự kiến 4 MTL16 là tài liệu môn Toán trong chương trình Lớp 8 được cungthi.vn tổng hợp và biên soạn. Tạo nguồn tài liệu giúp các bạn trong việc ôn tập
Những địa chỉ uy tín để bạn mua sách
Nội dung tóm tắt
Đề HSG TP dự kiến 4 MTL16
Bài 1. (2,0 điểm): Cho biểu thức: với a > 0, a 1.
a) Chứng minh rằng
b) Với những giá trị nào của a thì biểu thức nhận giá trị nguyên?
Bài 2. (2,0 điểm). a) Giả sử x1 , x2 là các nghiệm của phương trình = 0
Tính S = theo a.Tìm một đa thức bậc 7 có hệ số nguyên nhận làm nghiệm.
b) Giải hệ phương trình:
Bài 3. (2,0 điểm). a) Tìm ba chữ số tận cùng của tích của mười hai số nguyên dương đầu tiên.
b) Cho các số dương thỏa mãn điều kiện
. Chứng minh
Bài 4. (3,0 điểm) . Cho đường tròn (C ) với tâm O và đường kính AB cố định. Gọi M là điểm di động trên (C ) sao cho M không trùng với các điểm A và B. Lấy C là điểm đối xứng của O qua A. Đường thẳng vuông góc với AB tại C cắt đường thẳng AM tại N. Đường thẳng BN cắt đường tròn (C ) tại điểm thứ hai là E. Các đường thẳng BM và CN cắt nhau tại F.
a) Chứng minh rằng các điểm A, E, F thẳng hàng.
b) Chứng minh rằng tích AMAN không đổi.
c) Chứng minh rằng A là trọng tâm của tam giác BNF khi và chỉ khi NF ngắn nhất.
Bài 5. (1,0 điểm)
Xác định số các cặp số có thứ tự (a ;b) sao cho bội chung nhỏ nhất của a và b là .
---HẾT---
Bài 1. (2 điểm)
Rút gọn biểu thức .
Chứng minh rằng nếu a,b,c là các số không âm và b là trung bình cộng của a và c thì ta có: .
Bài 2. (2 điểm)
a) Cho phương trình Giả sử phương trình (1) có hai nghiệm không âm. Tìm giá trị m để nghiệm dương của của phương trình đạt giá trị lớn nhất.
b ) Giải phương trình: 2(x2 + 2) = 5.
Bài 3. (2 điểm)
Tìm tất cả các số nguyên tố p sao cho tổng tất cả các ước tự nhiên của số p4 là bình phương của một số nguyên.
Cho các số dương x, y, z thỏa mãn: x + y + z ≤ 3.Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A = .
Bài 4. (3 điểm)
Cho đường tròn (O) ngoại tiếp ABC có H là trực tâm. Trên cung nhỏ BC lấy điểm M. Gọi N, I, K lần lượt là hình chiếu của M trên BC, CA, AB. Chứng minh:
a) Ba điểm K, N, I thẳng hàng.
b) .
c) NK đi qua trung điểm của HM.
Bài 5. (1 điểm)
Trên mặt phẳng cho 99 điểm phân biệt sao cho từ 3 điểm bất kì trong số chúng đều tìm được 2 điểm có khoảng cách nhỏ hơn 1. Chứng minh rằng tồn tại một hình tròn có bán kính bằng 1 chứa không ít hơn 50 điểm.
------------Hết----------
Câu I. (2,0 điểm). 1) Cho . Hãy tính giá trị của biểu thức sau:
2) Cho x và y thỏa mãn: . Tính: x + y
Câu II (2,0 điểm). 1) Cho phương trình: Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm với mọi m. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức khi m thay đổi. 2) Giải hệ phương trình:
Câu III. (2,0 điểm) . 1) Cho bẩy số nguyên a1, a2, ….a7. Viết các số nguyên đó theo một thứ tự khác được b1, b2, ....b7. Chứng minh rằng tích: (a1 - b1)(a2 – b2)......(a7 – b7) chia hết cho 2.
2) Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của: A =
Câu IV. (3,0 điểm). 1) Cho tam giác đều ABC, các điểm D, E lần lượt thuộc các cạnh AC, AB, sao cho BD, CE cắt nhau tại P và diện tích tứ giác ADPE bằng diện tích tam giác BPC. Tính 2) Cho đường tròn tâm O và dây cung AB cố định (). P là điểm di động trên đoạn thẳng AB ( và P khác trung điểm AB). Đường tròn tâm C đi qua điểm P tiếp xúc với đường tròn (O) tại A. Đường tròn tâm D đi qua điểm P tiếp xúc với đường tròn (O) tại B. Hai đường tròn (C) và (D) cắt nhau tại N ().
a) Chứng minh rằng và bốn điểm O, D, C, N cùng nằm trên một đường tròn.
b) Chứng minh rằng đường trung trực của đoạn ON luôn đi qua điểm cố định khi P di động
Câu V. (1,0 điểm). Tất cả các điểm trên mặt phẳng đều được tô màu, mỗi điểm được tô bởi một trong 3 màu xanh, đỏ, tím. Chứng minh rằng khi đó luôn tồn tại ít nhất một tam giác cân, có 3 đỉnh thuộc các điểm của mặt phẳng trên mà 3 đỉnh của tam giác đó cùng màu hoặc đôi một khác màu.
HẾT
Câu1: (2,0 điểm)
Cho biểu thức: với a > 0, a 1.
a) Chứng minh rằng
b) Với những giá trị nào của a thì biểu thức nhận giá trị nguyên?
Câu 2: (2,0 điểm).Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình sau vô nghiệm:
Tìm x; y; z thoả mãn hệ sau:
Câu 3: (2,0 điểm)
a/ Cho p là số nguyên tố lớn hơn 5. Chứng minh rằng số chia hết cho 60.
b/ Cho 3 số thực không âm a, b, c chứng minh rằng:
Câu 4: (3,0 điểm).Cho đường tròn (O) có tâm là O và bán kính bằng R. Hai điểm phân biệt B,C cố định nằm trên (O) sao cho BC = a < 2R . Gọi A là điểm bất kì thuộc cung lớn của (O), A không trùng với B,C . Gọi D là chân đường phân giác trong kẻ từ A của tam giác ABC. Hai điểm E, F lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác ADB và ADC.
a) Chứng minh rằng hai tam giác AEO và ADC đồng dạng.
b) Tính diện tích tứ giác AEOF theo a và R.
c) Chứng minh rằng khi điểm A thay đổi thì E di chuyển trên một đường thẳng cố định.
Câu 5: (1,0 điểm).Trên một đường tròn cho 21 điểm phân biệt. Mỗi một điểm được tô bởi một trong 4 màu: xanh, đỏ, tím, vàng. Giữa mỗi cặp điểm nối với nhau bằng một đoạn thẳng được tô bởi một trong 2 màu: nâu hoặc đen. Chứng minh rằng luôn tồn tại một tam giác có ba đỉn
