Hướng dẫn giải các dạng toán số phức là tài liệu môn Toán trong chương trình Lớp 12 được cungthi.online tổng hợp và biên soạn từ các nguồn chia sẻ trên Internet. Tạo nguồn tài liệu giúp các bạn trong việc ôn luyện và học tập
Những địa chỉ uy tín để bạn mua sách
Nội dung tóm tắt
LATEX PAGE TOÁN HỌC SƠ CẤP https://www.facebook.com/MATHDDT/
SỐ PHỨC
BÀI1. DẠNG ĐẠI SỐ CỦA SỐ PHỨC VÀ CÁC PHÉP
TOÁN TRÊN SỐ PHỨC
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Định nghĩa
Định nghĩa 1. Mỗi biểu thức dạng a+ bi, trong đó a, b ∈ R, i2 = −1 được gọi là một số phức.
Đối với số phức z = a+ bi, ta nói a là phần thực, b là phần ảo của z, i gọi là đơn vị ảo.
Tập số phức C = {a+ bi|a, b ∈ R, i2 = −1}. Tập số thực R ⊂ C.
VÍ DỤ 1. Số phức z = 3− 2i có phần thực là . . . . . . phần ảo là . . . . . .
Lời giải.
Số phức z = 3− 2i có phần thực là 3 phần ảo là −2.
!
Đặc biệt
Khi phần ảo b = 0⇔ z = a ∈ R⇔ z là số thực.
Khi phần thực a = 0⇔ z = bi⇔ z là số thuần ảo.
Số 0 = 0 + 0i vừa là số thực, vừa là số ảo.
2. Hai số phức bằng nhau
Hai số phức là bằng nhau nếu phần thực và phần ảo của chúng tương ứng bằng nhau.
a+ bi = c+ di⇔
®
a = c
b = d
, với a, b, c, d ∈ R.
VÍ DỤ 2. Tìm các số thực x, y biết rằng (2x+ 1) + (3y − 2)i = (x+ 2) + (y + 4)i.
Lời giải.
Từ định nghĩa ta có
®
2x+ 1 = x+ 2
3y − 2 = y + 4
⇔
®
x = 1
y = 3.
3. Biểu diễn hình học của số phức
Điểm M(a; b) trong hệ trục tọa độ vuông góc của mặt phẳng được gọi là điểm biểu diễn của số phức z = a+ bi.
VÍ DỤ 3.
Quan sát hình vẽ bên cạnh, ta có
1 Điểm A biểu diễn cho số phức . . . . . . . . . . . . . . .
2 Điểm B biểu diễn cho số phức . . . . . . . . . . . . . . .
3 Điểm C biểu diễn cho số phức . . . . . . . . . . . . . . .
4 Điểm D biểu diễn cho số phức . . . . . . . . . . . . . . .
x
y
3
A
2
2
B−3
−3
C
−2
3 D
O
Lời giải.
Ta có
"Toán học là môn thể dục của trí tuệ "–Isocrates Trang 1
PAGE TOÁN HỌC SƠ CẤP https://www.facebook.com/MATHDDT/ LATEX
1 Điểm A biểu diễn cho số phức z = 3 + 2i.
2 Điểm B biểu diễn cho số phức z = 2− 3i.
3 Điểm C biểu diễn cho số phức z = −3− 2i.
4 Điểm D biểu diễn cho số phức z = 3i.
4. Mô-đun của số phức
Giả sử số phức z = a+ bi được biểu diễn bởi điểm M(a; b) trên mặt phẳng tọa độ.
1 Độ dài của véc-tơ
# »
OM được gọi là mô-đun của số phức z và được ký hiệu là |z|.
Khi đó, |z| =
∣∣∣ # »OM ∣∣∣ = |a+ bi| = √a2 + b2.
2 Kết quả, với mọi số phức z ta có
(a) |z| ≥ 0 và |z| = 0⇔ z = 0.
(b) z · z̄ = |z|2.
(c) |z| = |z̄|.
(d) |z1 · z2| = |z1| · |z2|.
(e)
∣∣∣∣z1z2
∣∣∣∣ = |z1||z2| .
x
y
a
M
b
O
VÍ DỤ 4. Tìm mô-đun của các số phức sau
1 z = 3− 2i⇒ |z| = |3− 2i| =
»
. . . . . . . . . = . . . . . .
2 z = 1 + i
√
3⇒ |z| = |1 + i
√
3| =
»
. . . . . . . . . = . . . . . .
Lời giải.
Ta có
1 |z| = |3− 2i| =
√
32 + (−2)2 =
√
13.
2 |z| = |1 + i
√
3| =
»
12 + (
√
3)2 = 2.
5. Số phức liên hợp
Định nghĩa 2. Cho số phức z = a + bi, (a, b ∈ R). Ta gọi a − bi là số phức liên hợp của z và được ký hiệu là
z̄ = a− bi.
VÍ DỤ 5.
1 Cho z = −3− 2i⇒ z̄ = . . . . . . . . .
2 Cho z̄ = 4 + 3i⇒ z = . . . . . . . . .
Lời giải.
1 Cho z = −3− 2i⇒ z̄ = −3 + 2i.
2 Cho z̄ = 4 + 3i⇒ z = 4− 3i.
Trang 2 "Toán học là môn thể dục của trí tuệ "–Isocrates
LATEX PAGE TOÁN HỌC SƠ CẤP https://www.facebook.com/MATHDDT/
Trên mặt phẳng tọa độ, các điểm biểu diễn z và z̄ đối xứng với nhau qua trục
Ox.
Từ định nghĩa ta có các kết quả sau
2 z̄ = z; |z̄| = |z|.
2 z1 ± z2 = z̄1 ± z̄2.
2 z1 · z2 = z̄1 · z̄2.
2
Å
z1
z2
ã
=
z̄1
z̄2
.
2 z là số thực ⇔ z = z̄.
2 z là số thuần ảo ⇔ z = −z̄.
x
y
a
z = a + bi
b
z̄ = a− bi
−b
O
6. Cộng, trừ, nhân, chia số phức
Cho hai số phức z1 = a+ bi và z2 = c+ di.
1 Phép cộng và phép trừ hai số phức được thực hiện theo quy tắc cộng, trừ đa thức.
Phép cộng: z1 + z2 = (a+ bi) + (c+ di) = (a+ c) + (b+ d)i.
Phép trừ: z1 − z2 = (a+ bi)− (c+ di) = (a− c) + (b− d)i.
Số phức đối của của số phức z = a+ bi là −z = −a− bi. Do đó, z + (−z) = (−z) + z = 0.
VÍ DỤ 6. Cho hai số phức z1 = 5 + 2i và z2 = 3 + 7i. Tìm phần thực, phần ảo và mô-đun của số phức
w = z1 + z2 và số phức w′ = z2 − z1.
Lời giải.
Ta có w = (5 + 2i) + (3 + 7i) = 8 + 9i và w′ = (3 + 7i)− (5 + 2i) = −2 + 5i.
Như thế
• w có phần thực là 8, phần ảo là 9 và mô-đun là |w| =
√
82 + 92 =
√
145,
• w′ có phần thực là −2, phần ảo là 5 và mô-đun là |w′| =
√
(−2)2 + 52 =
√
29.
2 Phép nhân số phức được thực hiện theo quy tắc nhân đa thức, rồi thay i2 = −1 trong kết quả nhận được.
Cụ thể, z1 · z2 = (ac− bd) + (ad+ bc)i.
3 Phép chia:
z1
z2
=
z1 · z̄2
z2z̄2
=
z1 · z̄2
|z2|2
=
ac+ bd
c2 + d2
+
bc− ad
c2 + d2
· i, (z2 6= 0).
4 Số phức nghịch đảo của z = a+ bi 6= 0 là 1
z
=
z̄
|z|2
=
z̄
a2 + b2
=
a− bi
a2 + b2
.
VÍ DỤ 7. Cho hai số phức z1 = 5 + 2i và z2 = 4 + 3i. Hãy tính
• w = z1 · z2 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
• z1 · z̄2 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
• r = z1
z2
= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Lời giải.
Ta có
• w = z1 · z2 = (5 + 2i)(4 + 3i) = 14 + 23i.
• z1 · z̄2 = (5 + 2i)(4− 3i) = 26− 7i = 26 + 7i.
• r = z1
z2
=
