Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi Chuyên đề 3 Bài toán liên quan đồ thị Lê Hoành Phò File word là tài liệu môn Toán trong chương trình Lớp 12 được cungthi.vn tổng hợp và biên soạn. Tạo nguồn tài liệu giúp các bạn trong việc ôn tập
Những địa chỉ uy tín để bạn mua sách
Nội dung tóm tắt
Đặt mua trọn bộ đề thi HỌC SINH GIỎI môn Toán file word
Cách 1: Soạn tin “ Đăng ký đề HSG môn Toán” gửi đến số 0982.563.365
Cách 2: Đăng ký tại link sau http://dethithpt.com/dangkytoan/
Chuyên đề 3 - Bài toán liên quan đồ thị
1. Kiến thức trọng tâm
Sự tương giao: Cho 2 đồ thị của hàm số:
Phương trình hoành độ giao điểm: là một phương trình đại số, tùy theo số nghiệm mà có quan hệ tương giao. Vô nghiệm: không có điểm chung, 1 nghiệm (đơn): cắt nhau, 1 nghiệm kép: tiếp xúc, 2 nghiệm phân biệt: 2 giao điểm,…
Chú ý:
1) Phương trình bậc 3:
Nếu có nghiệm thì phân tích:
Nếu đặt hàm số thì điều kiện: có 1 nghiệm: đồ thị không có cực trị hoặc , có 2 nghiệm: , có 3 nghiệm phân biệt: .
Phương trình bậc 3 có 3 nghiệm dương khi:
2) Hai điểm trên 2 nhánh đồ thị , ta thường lấy hai hoành độ và với .
Góc và khoảng cách:
- Góc giữa 2 vectơ:
- Góc giữa 2 đường thẳng:
- Khoảng cách
- Khoảng cách từ đến :
- Đồ thị hàm bậc 3: cắt trục hoành tại 3 điểm A, B, C theo thứ tự có khoảng cách tức là 3 nghiệm lập cấp số cộng thì điểm uốn thuộc trục hoành.
- Phương trình trùng phương có 4 nghiệm phân biệt lập cấp số cộng khi , .
Tiếp tuyến và tiếp xúc:
- Tiếp tuyến tại điểm của đồ thị
, hệ số góc:
- Điều kiện 2 đồ thị và tiếp xúc là hệ phương trình:
có nghiệm
- Tiếp tuyến đi qua điểm : Lập phương trình tiếp tuyến tại bất kỳ rồi cho tiếp tuyến đi qua điểm thì tìm ra .
Chú ý: Với hai đường thẳng thì có: khi , ; khi , ; khi
Yếu tố đối xứng:
- Hàm số chẵn: và
Đồ thị hàm số chẵn đối xứng nhau qua trục tung.
- Hàm số lẻ: và
Đồ thị hàm số lẻ đối xứng nhau qua gốc O.
- Công thức chuyển hệ trục bằng phép tịnh tiến .
với :
- Điều kiện nhận là tâm đối xứng.
, hoặc chuyển trục bằng phép tịnh tiến đến gốc I nói trên là hàm số lẻ.
- Điều kiện nhận làm trục đối xứng;
, hoặc chuyển trục bằng phép tịnh tiến đến là hàm số chẵn.
Quỹ tích điểm M:
Tìm tọa độ x, y của M, khử tham số giữa x và y.
Giới hạn: Chuyể ndk nếu có của tham số về điều kiện của x (hay y).
Đặc biệt: Nếu thì chỉ cần tìm x rồi rút tham số để thế, khử tham số.
2. Các bài toán
Bài toán 3.1: Chứng minh rằng đồ thị hàm số luôn cắt đường thẳng tại đúng hai điểm phân biệt với mọi giá trị m.
Hướng dẫn giải
Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị là:
hoặc
Xét hàm số . Ta có và
nên hàm số này đồng biến trên .
Vì
và
nên phương trình luôn có nghiệm duy nhất : đpcm.
Bài toán 3.2: Tìm m để đồ thị hàm số sau cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt:
a) .
b) .
Hướng dẫn giải
a) Cho
hoặc
Đồ thị của hàm số đã cho cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khác −1.
hoặc
b) . Ta có .
Điều kiện cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt là đồ thị có CĐ, CT và
và
.
.
(vì nên ).
Bài toán 3.3: Tìm các giá trị của m để đường thẳng đi qua điểm và có hệ số góc m cắt đồ thị của hàm số:
a) Tại hai điểm phân biệt?
b) Tại hai điểm thuộc hai nhánh của đồ thị?
Hướng dẫn giải
Phương trình của .
Phương trình hoành độ giao điểm của và đường cong:
a) Đường thẳng cắt đường cong đã cho tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khác −1.
hoặc .
b) Hai nhánh của đường cong đã cho nằm về hai bên của đường tiệm cận đứng của đồ thị. Đường thẳng cắt đường cong đã cho tại hai điểm thuộc hai nhánh của nó khi và chỉ khi phương trình (1) có hai nghiệm và .
Đặt thì .
Phương trình trở thành:
.
ĐK phương trình (2) có hai nghiệm trái dấu .
Bài toán 3.4: Tìm tham số để đường thẳng
a) cắt đồ thị của hàm số tại hai điểm A, B sao cho tam giác OAB vuông tại gốc tọa độ O.
b) cắt đồ thị của hàm số tại 2 điểm phân biệt có hoành độ và đạt giá trị nhỏ nhất.
Hướng dẫn giải
a) Phương trình hoành độ giao điểm:
Với mọi thì đường thẳng cắt tại hai điểm phân biệt và đối xứng qua Oy, .
Tam giác OAB vuông tại O nên
Mà nên
Do đó
(vì )
b) Phương trình hoành độ giao điểm:
.
Điều kiện có 2 nghiệm phân biệt khác 1:
: Đúng
Ta có:
Vậy giá trị nhỏ nhất khi .
Bài toán 3.5: Tìm các giá trị của m sao cho
a) Đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại bốn điểm, tạo thành ba đoạn thẳng có độ dài bằng nhau.
b) Đường thẳng cắt tại hai điểm A, B mà .
Hướng dẫn giải
a) Hoành độ giao điểm của đường cong và trục hoành là nghiệm phương trình:
hoặc .
Điều kiện và . Khi đó, phương trình có 4 nghiệm
Đường cong cắt trục hoành tại 4 điểm tạo thành ba đoạn thẳng bằng nhau khi: hoặc hoặc (chọn).
b) Phương trình hoành độ giao điểm của d và :
Đường thẳng d cắt tại 2 điểm A, B phân biệt khi phương trình có 2 nghiệm phân biệt khác 1.
Khi đó và
Ta có
(thỏa mãn).
Vậy hay .
Bài toán 3.6: Chứng minh các đường thẳng luôn cắt đồ thị : tại 2 điểm M, N và cắt 2 tiệm cận của tại P, Q đồng thời hai đoạn MN, PQ có cùng trung điểm.
Hướng dẫn giải
Phương trình hoành độ giao điểm d và :
.
Ta có không là nghiệm và , nên d luôn cắt tại 2 điểm phân biệt M, N.
Ta có nên TCĐ: , TCX: .
Do đó , hoành độ giao điểm Q của d với TCX:
. Do đó : đpcm.
Bài toán 3.7: Viết
