Tài liệu Toán 11 GIỚI HẠN Hàm số liên tục (Lý thuyết + Bài tập vận dụng) File word là tài liệu môn Toán trong chương trình Lớp 11 được cungthi.vn tổng hợp và biên soạn. Tạo nguồn tài liệu giúp các bạn trong việc ôn tập
Những địa chỉ uy tín để bạn mua sách
Nội dung tóm tắt
http://dethithpt.com CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN – TẬP 2
Đặt mua trọn bộ chuyên đề lớp 11 môn Toán file word
Cách 1: Soạn tin “ Đăng ký bộ đề chuyên đề lớp 11 Toán” gửi đến số 0982.563.365
Cách 2: Đăng ký tại link sau http://dethithpt.com/dangkytoan/
Mục lục
TOC \o "1-3" \h \z \u HÀM SỐ LIÊN TỤC 2
Vấn đề 1. Xét tính liên tục của hàm số tại một điểm 2
Vấn đề 2. Xét tính liên tục của hàm số trên một tập 8
Vấn đề 3. Chứng minh phương trình có nghiệm 14
HÀM SỐ LIÊN TỤC
1. Định nghĩa
Cho hàm số xác định trên khoảng K và
1) Hàm số liên tục tại
2) Hàm số không liên tục tại ta nói hàm số gián đoạn tại
liên tục trên một khoảng nếu nó kiên tục tại mọi điểm của khoảng đó.
liên tục trên đoạn nếu nó liên tục trên và
, .
2. Các định lý cơ bản.
Định lý 1 :
a) Hàm số đa thức liên tục trên tập R
b) Hàm số phân thức hữu tỉ và hàm số lượng giác liên tục trên từng khoảng xác định của chúng
Định lý 2. Các hàm số liên tục tại . Khi đó tổng, hiệu, tích liên tục tai x0, thương liên tục nếu .
Định lý 3. Cho hàm số f liên tục trên đoạn .
Nếu và M là một số nằm giữa thì tồn tại ít nhất một số sao cho
Hệ quả : Cho hàm số f liên tục trên đoạn .
Nếu thì tồn tại ít nhất một số sao cho .
Chú ý : Ta có thể phát biểu hệ quả trên theo cách khác như sau :
Cho hàm số f liên tục trên đoạn . Nếu thì phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc .
Vấn đề 1. Xét tính liên tục của hàm số tại một điểm
Phương pháp:
Tìm giới hạn của hàm số khi và tính
Nếu tồn tại thì ta so sánh với .
Chú ý:
1. Nếu hàm số liên tục tại thì trước hết hàm số phải xác định tại điểm đó
2. .
3. Hàm số liên tục tại .
4. Hàm số liên tục tại điểm khi và chỉ khi .
Chú ý:
Hàm số liên tục tại khi và chỉ khi
.
Hàm số liên tục tại khi và chỉ khi
.
Các ví dụ
Ví dụ 1. Xét tính liên tục của hàm số sau tại
1. 2.
Lời giải:
1. Hàm số xác định trên
Ta có và
.
Vậy hàm số không liên tục tại .
2. Ta có và ;
Vậy hàm số gián đoạn tại .
Ví dụ 2. Xét tính liên tục của hàm số sau tại điểm chỉ ra
1. tại điểm 2.
Lời giải:
1. Ta có và
Vậy hàm số liên tục tại điểm .
2. Ta có
Suy ra không tồn tại giới hạn của hàm số khi .
Vậy hàm số gián đoạn tại .
Ví dụ 3 Tìm để hàm số sau liên tục tại
1. 2.
Lời giải:
1. Ta có và
Hàm số liên tục tại điểm .
2. Ta có :
Hàm số liên tục tại
.
CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP
Bài 1 Cho hàm số . Khẳng định nào sau đây đúng nhất
A. Hàm số liên tục tại
B. Hàm số liên tục tại mọi điểm trên tập xác định nhưng gián đoạn tại
C. Hàm số không liên tục tại
D. Tất cả đều sai
Lời giải:
Ta có :
Hàm số liên tục tại điểm .
Bài 2 Cho hàm số . Khẳng định nào sau đây đúng nhất
A. Hàm số liên tục tại
B. Hàm số liên tục tại mọi điểm
C. Hàm số không liên tục tại
D. Tất cả đều sai
Lời giải:
Hàm số không liên tục tại .
Bài 3 Cho hàm số 3. . Khẳng định nào sau đây đúng nhất
A. Hàm số liên tục tại tại và .
B. Hàm số liên tục tại , không liên tục tại điểm .
C. Hàm số không liên tục tại tại và .
D. Tất cả đều sai
Lời giải:
Hàm số liên tục tại , không liên tục tại điểm .
Bài 4. Chọn giá trị để các hàm số liên tục tại điểm .
A.1 B.2 C.3 D.4
Lời giải:
Ta có :
Vậy ta chọn
Bài 5. Chọn giá trị để các hàm số liên tục tại điểm .
A.1 B.2 C. D.
Lời giải:
Ta có :
Vậy ta chọn .
Bài 6 Cho hàm số . Khẳng định nào sau đây đúng nhất
A. Hàm số liên tục tại tại tại
B. Hàm số liên tục tại mọi điểm
C. Hàm số không liên tục tại tại ..
D. Tất cả đều sai
Lời giải:
Ta có: và
Suy ra
Vậy hàm số không liên tục tại .
Bài 7 Cho hàm số 3. . Khẳng định nào sau đây đúng nhất
A. Hàm số liên tục tại
B. Hàm số liên tục tại mọi điểm như gián đoạn tại
C. Hàm số không liên tục tại
D. Tất cả đều sai
Lời giải:
Ta có:
Vậy hàm số liên tục tại .
Bài 8 Cho hàm số . Khẳng định nào sau đây đúng nhất
A. Hàm số liên tục tại
B. Hàm số liên tục tại mọi điểm
C. Hàm số không liên tục tại tại
D. Tất cả đều sai
Lời giải:
Ta có :
Hàm số liên tục tại điểm .
Bài 9 Cho hàm số
. Khẳng định nào sau đây đúng nhất
A. Hàm số liên tục tại
B. Hàm số liên tục tại mọi điẻm
C. Hàm số không liên tục tại
D. Tất cả đều sai
Lời giải:
Ta có :
Hàm số không liên tục tại .
Bài 10. Tìm để các hàm số liên tục tại
A. B. C.0 D.1
Lời giải:
Ta có :
Suy ra hàm số liên tục tại .
Bài 11. Tìm để các hàm số liên tục tại
A. B. C. D.1
Lời giải:
Ta có :
Hàm số liên tục tại .
Bài 12. Tìm để các hàm số liên tục tại
A. B. C. D.1
Lời giải:
Ta có :
Suy ra hàm số liên tục tại .
Vấn đề 2. Xét tính liên tục của hàm số trên một tập
Phương pháp:Sử dụng các định lí về tính liên tục của hàm đa thức, lương giác, phân thức hữu tỉ …
Nếu hàm số cho dưới dạng nhiều công thức thì ta xét tính liên tục trên mỗi khoảng đã chia và tại các điểm chia của các khoảng đó.
Các ví dụ
Ví dụ 1 Xét tính liên tục của các hàm số sau trên toàn trục số:
1. 2.
Lời giải:
1. TXĐ:
Vậy hàm số liên tục trên
2. Điều kiện xác định:
V
