Tóm tắt lý thuyết và công thức hỗ trợ là tài liệu môn Toán trong chương trình Lớp 12 được cungthi.online tổng hợp và biên soạn từ các nguồn chia sẻ trên Internet. Tạo nguồn tài liệu giúp các bạn trong việc ôn luyện và học tập
Những địa chỉ uy tín để bạn mua sách
Nội dung tóm tắt
fb: https://www.facebook.com/NhanhTien0694 1
HÀM SỐ
TÓM TẮT LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC HỖ TRỢ
Tiến Nhanh biên soạn và sưu tầm
Bản demo soạn bằng LATEX
1. Nhắc lại kiến thức
1.1. Quy tắc và công thức tính đạo hàm.
Cho u = u(x);v = (x); k là hằng số.
• Tổng, hiệu:
(u± v)′ = u′± v′
• Tích:
(u.v)′ = u′.v+u.v′
• Thương: (u
v
)′
=
u′.v−u.v′
v2
;(v 6= 0)⇒
(
k
v
)′
=− k
v2
• Hàm hợp: Nếu y = y(u);u = u(x)⇒ y′x = y′u.u′x.
• Bảng công thức đạo hàm.
Đạo hàm của hàm sơ cấp Đạo hàm của hàm hợp
C′ = 0 (C là hằng số)
(xα)′ = α.xα−1 (uα)′ = α.uα−1.u′(
1
x
)′
=−
(
1
x2
)
,(x 6= 0)
(
1
u
)′
=−
(
u′
u2
)
,(u 6= 0)
(
√
x)′ =
1
2
√
x
(
√
u)′ =
u′
2
√
u
(sinx)′ = cosx (sinu)′ = u′.cosu
(cosx)′ =−sinx (cosu)′ =−u′.sinu
(tanx)′ =
1
cos2x
= tan2 x+1 (tanu)′ =
u′
cos2u
(cotx)′ =− 1
sin2x
=−
(
cot2 x+1
)
(cotu)′ =− u
′
sin2u
(ex)′ = ex (eu)′ = u′.eu
(ax)′ = ax.ln(a) (au)′ = u′.au.ln(a)
(ln |x|)′ = 1
x
(ln |u|)′ = u
′
u
(loga |x|)′ =
1
x.ln(a)
(loga |u|)′ =
u′
u.ln(a)
fb: https://www.facebook.com/NhanhTien0694 2
• Đạo hàm cấp 2: f ′′(x) = [ f ′(x)]′.
Ý nghĩa: Gia tốc tức thời của chuyển động s = f (t) tại thời điểm to là a(to) = f ′′(to)
• Công thức tính nhanh đạo hàm của hàm phân thức(
ax+b
cx+d
)′
=
ad−bc
(cx+d)2
;
(
ax2 +bx+ c
dx2 + ex+ f
)′
=
(ae−bd).x2 +2(a f −dc).x+(b f − ce)
(dx2 + ex+ f )2
1.2. Dấu của tam thức bậc 2.
Cho tam thức bậc 2: y = ax2 +bx+ c với a 6= 0. Ta cần nhớ các kết quả sau:
1. f (x)> 0,∀x ∈ R khi và chỉ khi: {
a > 0
∆ < 0
2. f (x)> 0,∀x ∈ (α;+∞) khi và chỉ khi:
a > 0[
f (x) = 0 vô nghiệm
f (x) = 0 có nghiệm x1 ≤ x2 ≤ α
⇔
{
a > 0
∆ < 0
hoặc
a > 0
∆≥ 0
a f (α)≥ 0
S/2≤ α
3. f (x)> 0,∀x ∈ (−∞;α) khi và chỉ khi:
a > 0[
f (x) = 0 vô nghiệm
f (x) = 0 có nghiệm α ≤ x1 ≤ x2
⇔
{
a > 0
∆ < 0
hoặc
a > 0
∆≥ 0
a f (α)≥ 0
S/2≥ α
Tương tự cho điều kiện f (x)< 0, f (x)≥ 0,...
2. Tính đơn điệu của hàm số.
2.1. Định nghĩa
.
Hàm số y = f (x) xác định trên (a;b)
• y = f (x) đồng biến (tăng) trên (a;b)⇔∀x1 < x2 ∈ (a;b)⇒ f (x1)< f (x2).
• y = f (x) nghịch biến (giảm) trên (a;b)⇔∀x1 < x2 ∈ (a;b)⇒ f (x1)> f (x2).
fb: https://www.facebook.com/NhanhTien0694 3
2.2. Định lí
Hàm số y = f (x) xác định trên (a;b)
• y = f (x) đồng biến trên (a;b)⇔ f ′(x)≥ 0,∀x ∈ (a;b). Dấu ” = ” xảy ra tại một số hữu hạn
điểm ∈ (a;b).
• y = f (x) nghịch biến trên (a;b)⇔ f ′(x) ≤ 0,∀x ∈ (a;b). Dấu ” = ” xảy ra tại một số hữu
hạn điểm ∈ (a;b).
• Nếu y = f (x) đồng biến trên [a;b] thì Min
[a;b]
f (x) = f (a) và Max
[a;b]
f (x) = f (b).
• Nếu y = f (x) nghịch biến trên [a;b] thì Min
[a;b]
f (x) = f (b) và Max
[a;b]
f (x) = f (a).
2.3. Chú ý:
Dấu của đa thức bậc n:
f (x) = anxn + ...+a1x+a0
• Mỗi đa thức chỉ đổi dấu tại nghiệm đơn và bội lẻ. Tại các nghiệm bội chẵn đa thức không
đổi dấu.
• Dấu vùng cuối cùng (là vùng từ nghiệm lớn nhất đến +∞) luôn cùng dấu với hệ số bậc cao
nhất an.
2.4. Bài toán: Tìm điều kiện tham số để hàm số đơn điệu.
∇. Tìm m để hàm số đồng biến ( tương tự nghịch biến) trên (a;b).
Ta có: hàm số y = f (x) đồng biến trên (a;b)⇔
{
f ′(x)≥ 0,∀x ∈ (a;b)
Dấu ” = ” xảy ra tại hữu hạn điểm.
Đối với hàm đa thức bậc n liên tục trên (a;b)
• Bỏ điều kiện dấu "="
• Giải điều kiện y′ ≥ 0
– Dùng tam thức bậc 2, (∗)
– Hoặc giải bất phương trình nghiệm
– Hoặc rút m về một vế, xét hàm số( áp dụng cho tất cả các loại hàm số mà có m đồng bậc). . .
fb: https://www.facebook.com/NhanhTien0694 4
Hàm số bậc 3
Hàm số y = f (x) = ax3 +bx2 + cx+d,(a 6= 0)⇒ f ′(x) = 3ax2 +2bx+ c
Hàm số đồng biến trên R Hàm số nghịch biến trên R
⇔ f ′(x)≥ 0⇔
a > 0
4≤ 0
⇔ f ′(x)≤ 0⇔
a < 0
4≤ 0
Tìm m để hàm số bậc ba đơn điệu trên một khoảng có độ dài l xác định:
• Bước 1: Tính y′ = f ′(x;m) = 3ax2 +bx+ c
• Bước 2: Hàm số đơn điệu trên khoảng (x1;x2)⇔ y′ = 0 có hai nghiệm phân biệt⇔
{
∆ > 0
a 6= 0 (∗)
• Bước 3: Hàm số đơn điệu trên khoảng có độ dài l: ⇔ |x1− x2| = l ⇔ (x1 + x2)2− 4x1x2 = l2 ⇔
S2 +4P = l2(∗∗).
• Bước 4: Giải (∗) và (∗∗) ta được giá trị m cần tìm.
fb: https://www.facebook.com/NhanhTien0694 5
3. Cực trị của hàm số.
3.1. Định nghĩa
.
Cho hàm số y = f (x) liên tục trên K và xo ∈K.
• Nếu có (a;b) ∈ K và xo ∈ (a;b) sao cho ∀x ∈ (a;b) : x 6= xo⇒ f (x) < f (xo) thì hàm f đạt
cực đại tại xo. Lúc đó:
+ xo gọi là điểm cực đại của hàm f .
+ f (xo) gọi là giá trị cực đại của hàm f .Kí hiệu f (xo) = ymax (6= Max y)
+ Điểm (xo; f (xo) gọi là điểm cực đại của đồ thị hàm số.
• Nếu thay f (x)< f (xo) thành f (x)> f (xo) thì ta có khái niệm cực tiểu.
• Điểm cực đại, điểm cực tiểu gọi chung là điểm cực trị của hàm số.
• Nhắc lại:
– Ta có: f ′(xo) là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số f tại điểm có hoành độ xo.
– Đồ thị của hàm f bị đứt tại điểm nào thì hàm f gián đoạn tại hoành độ của điểm đó.
– Đồ thị của hàm f bị gãy tại điểm nào thì hàm f không có đạo hàm tại hoành độ của điểm đó.
Suy ra:
Nếu hàm f đạt cực trị tại xo thì
[
f ′(xo) = 0
f ′(xo) không tồn tại
3.2. Định lí 1:
Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm tại xo. Nếu hàm f đạt cực trị tại xo thì f ′(xo) = 0.
Nếu f ′(xo) = 0 thì chưa chắc hàm f đạt cực trị tại xo.
3.3. Định lí 2:
Cho hàm y = f (x) liên tục trong (a;b) và xo ∈ (a;b):
