Nội dung bài giảng
Xét tính liên tục của các hàm số sau:
a) \(f\left( x \right) = \sqrt {x + 5}\) tại x = 4 ;
b)
\(g\left( x \right) = \left\{ \matrix{
{{x - 1} \over {\sqrt {2 - x} - 1}},\,\,{\rm{ nếu }}\,\,x \le 1 \hfill \cr
- 2x{\rm{ ,\,\, nếu }}\,\,x \ge 1 \hfill \cr} \right.\) tại x = 1
Giải:
a) Hàm số \(f\left( x \right) = \sqrt {x + 5} \) có tập xác định là \({\rm{[}} - 5{\rm{ }};{\rm{ }} + \infty )\). Do đó, nó xác định trên khoảng \(\left( { - 5{\rm{ }};{\rm{ }} + \infty } \right)\) chứa x = 4
Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 4} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 4} \sqrt {x + 5} = 3 = f\left( 4 \right)\) nên \(f\left( x \right)\) liên tục tại x = 4
b) Hàm số: \(g\left( x \right) = \left\{ \matrix{
{{x - 1} \over {\sqrt {2 - x} - 1}},\,\,{\rm{ nếu }}\,\,x \le 1 \hfill \cr
- 2x{\rm{ ,\,\, nếu }}\,\,x \ge 1 \hfill \cr} \right.\) tại x = 1 có tập xác định là R
Ta có, \(g\left( 1 \right) = - 2\) (1)
\(\eqalign{
& \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} g\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} {{x - 1} \over {\sqrt {2 - x} - 1}} \cr
& = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} {{\left( {x - 1} \right)\left( {\sqrt {2 - x} + 1} \right)} \over {1 - x}} \cr
& = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left( { - \sqrt {2 - x} - 1} \right) = - 2 \cr}\) (2)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} g\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( { - 2x} \right) = - 2\) (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} g\left( x \right) = - 2 = g\left( 1 \right)\)
Vậy g(x) liên tục tại x = 1