Nội dung bài giảng
Bài 8. Cho điểm \(M(1 ; 4 ; 2)\) và mặt phẳng \((α): x + y + z -1 = 0\).
a) Tìm tọa độ điểm \(H\) là hình chiếu vuông góc của điểm \(M\) trên mặt phẳng \((α)\) ;
b) Tìm tọa độ điểm \(M'\) đối xứng với \(M\) qua mặt phẳng \((α)\).
c) Tính khoảng cách từ điểm \(M\) đến mặt phẳng \((α)\).
Giải:
a) Xét đường thẳng \(d\) qua \(M\) và \(d ⊥ (α)\).
Khi đó \(H\) chính là giao điểm của \(d\) và \((α)\).
Vectơ \(\overrightarrow{n}(1 ; 1 ; 1)\) là vectơ pháp tuyến của \((α)\) nên \(\overrightarrow{n}\) là vectơ chỉ phương của \(d\).
Phương trình tham số của đường thẳng \(d\) có dạng: \(\left\{\begin{matrix} x=1+t & \\ y=4+t & \\ z=2+t & \end{matrix}\right.\).
Thay tọa độ \(x ; y ; z\) của phương trình trên vào phương trình xác định \((α)\), ta có:
\(3t + 6 = 0 => t = -2 => H(-1 ; 2 ; 0)\).
b) Gọi \(M'(x ; y ; z)\) là điểm đối xứng của \(M\) qua mặt phẳng \((α)\), thì hình chiếu vuông góc \(H\) của \(M\) xuống \((α)\) chính là trung điểm của \(MM'\).
Ta có:
\(\frac{x+1}{2}=-1 => x = -3\) ;
\(\frac{y+4}{2}=2 => y = 0\) ;
\(\frac{z+2}{2}=0 => z = -2\).
Vậy \(M'(-3 ; 0 ;2)\).
c) Tính khoảng cách từ điểm \(M\) đến mặt phẳng \((α)\)
Cách 1: \(d(M,(\alpha ))=\frac{|1+4+2-1|}{\sqrt{1+1+1}}=\frac{6}{\sqrt{3}}=2\sqrt{3}\).
Cách 2: Khoảng cách từ M đến (α) chính là khoảng cách MH:
\(d(M,(α) )= MH\) = \(\sqrt{2^{2}+2^{2}+2^{2}}=2\sqrt{3}\).