[2D1-1. 5-4] Cho hàm số $f (x) = x^{2} - 2 x$ . Gọi $F (x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f (f (f (x)))$ . Hàm số $g (x) = F (x) - 3 x$ nghịch biến trong khoảng nào sau đây?

(- 2 \sqrt{2}; 1 - \sqrt{2})

(- 2; 1 + \sqrt{2})

(2 \sqrt{2}; 4)

(0; 1 + \sqrt{2})

Đáp án và lời giải

Đáp án:D

Lời giải:Lời giải
Chọn D
Ta có

g^{'} (x) = f (f (f (x))) - 3

.
Trước hết ta tìm các nghiệm của phương trình

f (f (f (x))) - 3 = 0

.
Đặt

a = f (f (x))

, phương trình trở thành:

f (a) = 3 \Leftrightarrow a^{2} - 2 a - 3 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} a = 3 \\ a = - 1 \end{array}

Với

a = 3

: Suy ra

f (f (x)) = 3

. Ta đặt

b = f (x)

\Rightarrow f (b) = 3 \Rightarrow b^{2} - 2 b = 3 \Leftrightarrow b^{2} - 2 b - 3 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} b = 3 \\ b = - 1 \end{array} \Rightarrow [\begin{array}{l} f (x) = 3 \\ f (x) = - 1 \end{array}

Với

a = - 1

Suy ra

f (f (x)) = - 1

. Ta cũng đặt

b = f (x)

\Rightarrow f (b) = - 1 \Leftrightarrow b^{2} - 2 b = - 1 \Leftrightarrow {(b - 1)}^{2} = 0 \Leftrightarrow {(f (x) - 1)}^{2} = 0

.
Vậy ta được:

\begin{array}{l} g^{'} (x) = f (f (f (x))) - 3 = (f (x) - 3) (f (x) + 1) {(f (x) - 1)}^{2} \\ = (x^{2} - 2 x - 3) (x^{2} - 2 x + 1) {(x^{2} - 2 x - 1)}^{2} \end{array}

\begin{array}{l} g^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = \pm 1 \\ x = 1 \pm \sqrt{2} \\ x = 3 \end{array} \end{array}

Bảng xét dấu

g^{'} (x)

Dựa vào bảng xét dấu, ta có hàm số

g (x)

nghịch biến trên

(- 1; 3)

.
Cách 2:
Ta có

g^{'} (x) = f (f (f (x))) - 3

g^{'} (x) \leq 0 \Leftrightarrow f (f (f (x))) \leq 3

.
Theo đề ra ta có

f (x) = x^{2} - 2 x \Rightarrow f (x) \geq - 1, \forall x \in ℝ

và

f (x) \leq 3 \Leftrightarrow - 1 \leq x \leq 3

.
Vậy

f (f (f (x))) \leq 3 \Leftrightarrow - 1 \leq f (f (x)) \leq 3 \Leftrightarrow - 1 \leq f (x) \leq 3 \Leftrightarrow - 1 \leq x \leq 3

Bên cạnh đó

g^{'} (x)

là hàm đa thức nên

g^{'} (x) = 0

tại hữu hạn điểm.
Vậy

g (x)

nghịch biến trên

(- 1; 3)

Câu hỏi thuộc đề thi sau. Bạn có muốn thi thử?

Làm bài

Câu hỏi Toán học