[2D3-2. 12-3] Cho hàm số $f (x)$ có $f (1) = \frac{1}{3}$ và $f^{'} (x) = \sqrt{\ln^{2} x + 1} . \frac{\ln x}{x}$ với $x > 0$ . Khi đó $\int_{1}^{2} \frac{f (x)}{x \sqrt{\ln^{2} x + 1}} d x$ bằng

\frac{\ln 2 (\ln^{3} 2 + 1)}{3}

\frac{\ln 2 (\ln 2 + 1)}{3}

\frac{\ln 2 (\ln^{2} 2 + 3)}{9}

\frac{\ln 2 (\ln 2 - 3)}{9}

Đáp án và lời giải

Đáp án:C

Lời giải:Lời giải
Chọn C
Xét

\int f^{'} (x) . d x = \int \sqrt{l n^{2} x + 1} . \frac{l n x}{x} . d x

.
Đặt

\sqrt{l n^{2} x + 1} = t

\Rightarrow l n^{2} x = t^{2} - 1 \Rightarrow \frac{l n x}{x} . d x = t . d t

.
Suy ra:

\int f^{'} (x) d x = \int t . t d t = \frac{t^{3}}{3} + C = \frac{\sqrt{{(\ln^{2} x + 1)}^{3}}}{3} + C

Vì vậy:

f (x) = \frac{\sqrt{{(l n^{2} x + 1)}^{3}}}{3} + C

.
Do

f (1) = \frac{1}{3} \Leftrightarrow \frac{1}{3} + C = \frac{1}{3} \Leftrightarrow C = 0

. Suy ra:

f (x) = \frac{\sqrt{{(l n^{2} x + 1)}^{3}}}{3}

.
Vậy

\int_{1}^{2} \frac{f (x)}{x \sqrt{\ln^{2} x + 1}} d x = \int_{1}^{2} \frac{\sqrt{{(\ln^{2} x + 1)}^{3}}}{3 x \sqrt{\ln^{2} x + 1}} d x = \int_{1}^{2} \frac{\ln^{2} x + 1}{3 x} d x = \frac{1}{3} \int_{1}^{2} (\ln^{2} x + 1) d (\ln x)

= {\frac{1}{3} (\frac{1}{3} \ln^{3} x + \ln x)|}_{1}^{2} = \frac{1}{3} (\frac{1}{3} \ln^{3} 2 + \ln 2)

= \frac{\ln 2 (\ln^{2} 2 + 3)}{9}

Câu hỏi thuộc đề thi sau. Bạn có muốn thi thử?

Làm bài

Câu hỏi Toán học