[2H2-2. 2-3] Cho tứ diện $A B C D$ có $A B = C D = 3$ , $A D = B C = 5$ , $A C = B D = 6$ . Tính thê tích khối cầu ngoại tiếp tứ diện $A B C D$ .

35 π

( đvtt).

35

( đvtt).

\frac{35 \sqrt{35}}{6} π

( đvtt).

35 \sqrt{35} π

( đvtt).

Đáp án và lời giải

Đáp án:C

Lời giải:Lời giải

Gọi

M

N

I

lần lượt là trung điểm của

A B

C D

và

M N

.
Ta có

Δ A C D = Δ B C D

\Rightarrow A N = B N

\Rightarrow Δ A B N

cân tại

N

, mà

A M

là đường trung tuyến
Chứng minh tương tự ta có

\Rightarrow I C = I D = \frac{M N}{2}

(2).
Từ (1) và (2) suy ra

I

là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện

A B C D

.
Áp dụng công thức trung tuyến cho tam giác

A C D

ta có

A N^{2} = \frac{36 + 25}{2} - \frac{9}{4}

= \frac{113}{4}

.
Xét tam giác vuông

A M I

có:

A I^{2} = A M^{2} + M I^{2}

= A M^{2} + \frac{M N^{2}}{4}

= A N^{2} - M N^{2} + {\frac{M N}{4}}^{2}

= A N^{2} - {\frac{3 M N}{4}}^{2}

= A N^{2} - \frac{3}{4} (A N^{2} - A M^{2})

= \frac{1}{4} (A N^{2} + 3 A M^{2})

= \frac{1}{4} (\frac{113}{4} + 3. \frac{9}{4})

= \frac{35}{4}

.
Suy ra bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện

A B C D

là

R = A I = \frac{\sqrt{35}}{2}

.
Vậy thê tích khối cầu ngoại tiếp tứ diện

A B C D

là:

V = \frac{4}{3} π R^{3} =

\frac{35 \sqrt{35}}{6} π

Câu hỏi thuộc đề thi sau. Bạn có muốn thi thử?

Làm bài

Câu hỏi Toán học