Cho hai số thực dương $x, y$ thay đổi thỏa mãn đẳng thức $(x y - 1) 2^{2 x y - 1} = (x^{2} + y) 2^{x^{2} + y}$ . Tìm giá trị nhỏ nhất $y_{\min}$ của $y$ .

y_{\min} = 3

y_{\min} = \sqrt{3}

y_{\min} = 1

y_{\min} = 2

Đáp án và lời giải

Đáp án:D

Lời giải:Lời giải
Chọn D
Nhận xét:

\{\begin{cases} (x y - 1) 2^{2 x y - 1} = (x^{2} + y) 2^{x^{2} + y} \\ (x^{2} + y) 2^{x^{2} + y} > 0, \forall y > 0 \end{cases} \Rightarrow x y - 1 > 0 \Leftrightarrow x y > 1

.
Ta có

(x y - 1) 2^{2 x y - 1} = (x^{2} + y) 2^{x^{2} + y} \Leftrightarrow (2 x y - 2) 2^{2 x y - 1} = (x^{2} + y) 2^{x^{2} + y + 1}

\Leftrightarrow f (2 x y - 1) = f (x^{2} + y + 1)

, trong đó

f (t) = (t - 1) 2^{t}, t > 0

là hàm số đặc trưng.
Ta có

f^{'} (t) = 2^{t} (t \ln 2 - \ln 2 + 1) > 0, \forall t > 0 (do 1 - \ln 2 > 0)

.
Do đó

f (t)

là hàm số đồng biến trên

(0; + \infty)

.
Suy ra

f (2 x y - 1) = f (x^{2} + y + 1)

\Leftrightarrow 2 x y - 1 = x^{2} + y + 1 \Leftrightarrow (2 x - 1) y = x^{2} + 2

.
Vì

y > 0

và

x^{2} + 2 > 0

nên suy ra

2 x - 1 > 0 \Rightarrow x > \frac{1}{2}

. Do đó

y = \frac{x^{2} + 2}{2 x - 1}

.
Xét hàm số

y = \frac{x^{2} + 2}{2 x - 1}

x > \frac{1}{2}

y^{'} = \frac{2 (x^{2} - x - 2)}{{(2 x - 1)}^{2}}

y^{'} = 0 \Leftrightarrow \frac{2 (x^{2} - x - 2)}{{(2 x - 1)}^{2}} = 0 \Leftrightarrow x = 2 (do x > \frac{1}{2})

.
Bảng biến thiên:

Suy ra giá trị nhỏ nhất của

y

là

y_{\min} = 2

Vậy đáp án đúng là D.

Câu hỏi thuộc đề thi sau. Bạn có muốn thi thử?

Làm bài

Câu hỏi Toán học