Cho hai số thực $x$ , $y$ thỏa mãn $\log_{4} (x + y) + \log_{4} (x - y) \geq 1$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = 2 x - y$ .

4

- 4

2 \sqrt{3}

\frac{10 \sqrt{3}}{3}

Đáp án và lời giải

Đáp án:C

Lời giải:Lời giải
Chọn C
Điều kiện

\{\begin{cases} x + y > 0 \\ x - y > 0 \end{cases}

. Từ đó suy ra

x > 0

\log_{4} (x + y) + \log_{4} (x - y) \geq 1 \Leftrightarrow \log_{4} (x^{2} - y^{2}) \geq 1

\Leftrightarrow x^{2} - y^{2} \geq 4

\Leftrightarrow x \geq \sqrt{y^{2} + 4}

P = 2 x - y \geq 2 \sqrt{y^{2} + 4} - y

với

y \in ℝ

.
Xét hàm số

f (y) = 2 \sqrt{y^{2} + 4} - y

với

y \in D = ℝ

f^{'} (y) = \frac{2 y}{\sqrt{y^{2} + 4}} - 1 = \frac{2 y - \sqrt{y^{2} + 4}}{\sqrt{y^{2} + 4}}

;

f^{'} (y) = 0 \Leftrightarrow 2 y = \sqrt{y^{2} + 4}

\Leftrightarrow \{\begin{cases} y \geq 0 \\ y^{2} = \frac{4}{3} \end{cases} \Leftrightarrow y = \frac{2}{\sqrt{3}}

.
Do hàm số

f^{'} (y)

liên tục trên

ℝ

và

f^{'} (0) = - 1; f^{'} (\sqrt{5}) = \frac{2 \sqrt{5} - 3}{3} > 0

nên

f^{'} (y) < 0 \Leftrightarrow y \in (- \infty; \frac{2}{\sqrt{3}})

;

f^{'} (y) > 0 \Leftrightarrow y \in (\frac{2}{\sqrt{3}}; + \infty)

.
Bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên suy ra

\min_{y \in ℝ} f (y) = 2 \sqrt{3} = f (\frac{2}{\sqrt{3}})

.
Suy ra

P \geq 2 \sqrt{3}

. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi

\{\begin{cases} x = \sqrt{y^{2} + 4} \\ y = \frac{2}{\sqrt{3}} \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = \frac{4}{\sqrt{3}} \\ y = \frac{2}{\sqrt{3}} \end{cases}

.
Vậy

\min P = 2 \sqrt{3}

đạt được khi

(x; y) = (\frac{4}{\sqrt{3}}; \frac{2}{\sqrt{3}})

Vậy đáp án đúng là C.

Câu hỏi thuộc đề thi sau. Bạn có muốn thi thử?

Làm bài

Câu hỏi Toán học