Cho hàm số $f (x) = 2 x^{3} + 6 x^{2} + 1$ và các số thực $m, n$ thỏa mãn $m^{2} - 4 m n + 5 n^{2} = 2 \sqrt{2} n - 1.$ Giá trị nhỏ nhất của $f (\frac{m - 2 \sqrt{2}}{n})$ bằng

4

- 99

5

- 100

Đáp án và lời giải

Đáp án:B

Lời giải:Lời giải
Chọn B
Đặt

\frac{m - 2 \sqrt{2}}{n} = t \Rightarrow m - 2 \sqrt{2} = n t \Rightarrow m = n t + 2 \sqrt{2}

thay vào đẳng thức

m^{2} - 4 m n + 5 n^{2} = 2 \sqrt{2} n - 1

ta có:

{(n t + 2 \sqrt{2})}^{2} - 4 (n t + 2 \sqrt{2}) n + 5 n^{2} = 2 \sqrt{2} n - 1

\Leftrightarrow (t^{2} - 4 t + 5) n^{2} + 2 (2 \sqrt{2} t - 5 \sqrt{2}) n + 9 = 0 (1)

, có

t^{2} - 4 t + 5 > 0, \forall t \in ℝ

.
Phương trình

(1)

có nghiệm

n \neq 0

\Leftrightarrow Δ' \geq 0

\Leftrightarrow {(2 \sqrt{2} t - 5 \sqrt{2})}^{2} - 9 (t^{2} - 4 t + 5) \geq 0 \Leftrightarrow t^{2} + 4 t - 5 \leq 0 \Leftrightarrow t \in [- 5; 1]

.
Xét hàm số

f (t) = 2 t^{3} + 6 t^{2} + 1

trên đoạn

[- 5; 1]

f' (t) = 6 t^{2} + 12 t = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} t = 0 \in [- 5; 1] \\ t = - 2 \in [- 5; 1] \end{array}

.
Ta có

f (- 5) = - 99

f (- 2) = 9

f (0) = 1

f (1) = 9

.
Vậy giá trị nhỏ nhất của

f (\frac{m - 2 \sqrt{2}}{n})

bằng

- 99

Vậy đáp án đúng là B.

Câu hỏi thuộc đề thi sau. Bạn có muốn thi thử?

Làm bài

Câu hỏi Toán học